圖最短路徑算法

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來(lái)大家介紹下關(guān)于圖最短路徑算法的問(wèn)題，以下是小編對(duì)此問(wèn)題的歸納整理，讓我們一起來(lái)看看吧。

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本文目錄:

• 1、求解：圖論中常見(jiàn)的最短路徑算法有幾種？都是什么？

• 2、圖文解析 | Dijkstra單源最短路徑算法

• 3、dijkstra算法是什么？

• 4、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的最短路徑算法有哪些？對(duì)應(yīng)哪些協(xié)議？

一、求解：圖論中常見(jiàn)的最短路徑算法有幾種？都是什么？

算法 Algorithm

算法是在有限步驟內(nèi)求解某一問(wèn)題所使用的一組定義明確的規(guī)則。通俗點(diǎn)說(shuō)，就是計(jì)算機(jī)解題的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，無(wú)論是形成解題思路還是編寫(xiě)程序，都是在實(shí)施某種算法。前者是推理實(shí)現(xiàn)的算法，后者是操作實(shí)現(xiàn)的算法。

一個(gè)算法應(yīng)該具有以下五個(gè)重要的特征：

1、有窮性： 一個(gè)算法必須保證執(zhí)行有限步之后結(jié)束；

2、確切性： 算法的每一步驟必須有確切的定義；

3、輸入：一個(gè)算法有0個(gè)或多個(gè)輸入，以刻畫(huà)運(yùn)算對(duì)象的初始情況，所謂0個(gè)輸入是指算法本身定除了初始條件；

4、輸出：一個(gè)算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，以反映對(duì)輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果。沒(méi)有輸出的算法是毫無(wú)意義的；

5、可行性： 算法原則上能夠精確地運(yùn)行，而且人們用筆和紙做有限次運(yùn)算后即可完成。

算法的設(shè)計(jì)要求

1）正確性（Correctness）

有4個(gè)層次：

A．程序不含語(yǔ)法錯(cuò)誤；

B．程序?qū)捉M輸入數(shù)據(jù)能夠得出滿(mǎn)足規(guī)格要求的結(jié)果；

C．程序?qū)倪x擇的、典型的、苛刻的、帶有刁難性的幾組輸入數(shù)據(jù)能夠得出滿(mǎn)足規(guī)格要求的結(jié)果；

D．程序?qū)σ磺泻戏ǖ妮斎霐?shù)據(jù)都能產(chǎn)生滿(mǎn)足規(guī)格要求的結(jié)果。

2）可讀性（Readability）

算法的第一目的是為了閱讀和交流；

可讀性有助于對(duì)算法的理解；

可讀性有助于對(duì)算法的調(diào)試和修改。

3）高效率與低存儲(chǔ)量

處理速度快；存儲(chǔ)容量小

時(shí)間和空間是矛盾的、實(shí)際問(wèn)題的求解往往是求得時(shí)間和空間的統(tǒng)一、折中。

算法的描述 算法的描述方式（常用的）

算法描述 自然語(yǔ)言

流程圖 特定的表示算法的圖形符號(hào)

偽語(yǔ)言 包括程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言的三大基本結(jié)構(gòu)及自然語(yǔ)言的一種語(yǔ)言

類(lèi)語(yǔ)言 類(lèi)似高級(jí)語(yǔ)言的語(yǔ)言，例如，類(lèi)PASCAL、類(lèi)C語(yǔ)言。

算法的評(píng)價(jià) 算法評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)：時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。

1）時(shí)間復(fù)雜度 指在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行該算法所花費(fèi)的時(shí)間。用“O（數(shù)量級(jí)）”來(lái)表示，稱(chēng)為“階”。

常見(jiàn)的時(shí)間復(fù)雜度有： O（1）常數(shù)階；O（logn）對(duì)數(shù)階；O（n）線(xiàn)性階；O（n＾2）平方階

2）空間復(fù)雜度 指算法在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行所占用的存儲(chǔ)空間。度量同時(shí)間復(fù)雜度。

時(shí)間復(fù)雜度舉例

（a） X：=X+1 ； O（1）

（b） FOR I：=1 TO n DO

X：= X+1； O（n）

（c） FOR I：= 1 TO n DO

FOR J：= 1 TO n DO

X：= X+1； O（n＾2）

“算法”一詞最早來(lái)自公元 9世紀(jì) 波斯數(shù)學(xué)家比阿勒·霍瓦里松的一本影響深遠(yuǎn)的著作《代數(shù)對(duì)話(huà)錄》。20世紀(jì)的 英國(guó) 數(shù)學(xué)家 圖靈 提出了著名的圖靈論點(diǎn)，并抽象出了一臺(tái)機(jī)器，這臺(tái)機(jī)器被我們稱(chēng)之為 圖靈機(jī) 。圖靈的思想對(duì)算法的發(fā)展起到了重要的作用。

算法是 計(jì)算機(jī) 處理信息的本質(zhì)，因?yàn)?計(jì)算機(jī)程序 本質(zhì)上是一個(gè)算法，告訴計(jì)算機(jī)確切的步驟來(lái)執(zhí)行一個(gè)指定的任務(wù)，如計(jì)算職工的薪水或打印學(xué)生的成績(jī)單。 一般地，當(dāng)算法在處理信息時(shí)，數(shù)據(jù)會(huì)從輸入設(shè)備讀取，寫(xiě)入輸出設(shè)備，可能保存起來(lái)以供以后使用。

這是算法的一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

我們有一串隨機(jī)數(shù)列。我們的目的是找到這個(gè)數(shù)列中最大的數(shù)。如果將數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)字看成是一顆豆子的大小 可以將下面的算法形象地稱(chēng)為“撿豆子”：

首先將第一顆豆子（數(shù)列中的第一個(gè)數(shù)字）放入口袋中。

從第二顆豆子開(kāi)始檢查，直到最后一顆豆子。如果正在檢查的豆子比口袋中的還大，則將它撿起放入口袋中，同時(shí)丟掉原先的豆子。 最后口袋中的豆子就是所有的豆子中最大的一顆。

下面是一個(gè)形式算法，用近似于 編程語(yǔ)言 的 偽代碼 表示

給定：一個(gè)數(shù)列“l(fā)ist"，以及數(shù)列的長(zhǎng)度"length(list)" largest = list[1] for counter = 2 to length(list): if list[counter] > largest: largest = list[counter] print largest

符號(hào)說(shuō)明:

= 用于表示賦值。即：右邊的值被賦予給左邊的變量。

List[counter] 用于表示數(shù)列中的第 counter 項(xiàng)。例如：如果 counter 的值是5，那么 List[counter] 表示數(shù)列中的第5項(xiàng)。

<= 用于表示“小于或等于”。

算法的分類(lèi)

（一）基本算法 :

1.枚舉

2.搜索:

深度優(yōu)先搜索

廣度優(yōu)先搜索

啟發(fā)式搜索

遺傳算法

（二）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的算法

（三）數(shù)論與代數(shù)算法

（四）計(jì)算幾何的算法：求凸包

（五）圖論 算法：

1.哈夫曼編碼

2.樹(shù)的遍歷

3.最短路徑 算法

4.最小生成樹(shù) 算法

5.最小樹(shù)形圖

6.網(wǎng)絡(luò)流 算法

7.匹配算法

（六）動(dòng)態(tài)規(guī)劃

（七）其他：

1.數(shù)值分析

2.加密算法

3.排序 算法

4.檢索算法

5.隨機(jī)化算法

二、圖文解析 | Dijkstra單源最短路徑算法

給定 加權(quán)有向圖 G=(V,E,W)，每條邊的權(quán)值w為 非負(fù)數(shù) ，表示兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離。

源點(diǎn)s∈V。

求：從s出發(fā)到其他各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑。

如上圖所示，以1為源點(diǎn)，計(jì)算到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短距離（我已用紅線(xiàn)標(biāo)出）。下面列出了最終解：

S集合 ：當(dāng)從s到x（x ∈V ）的最短路徑找到時(shí)，則x ∈S。當(dāng)所有頂點(diǎn)都進(jìn)入S集合時(shí)，算法結(jié)束。

初始：S=｛s｝，當(dāng)S=V時(shí)算法結(jié)束。

從s到u相對(duì)于S的最短路徑 ：指從s到u且僅經(jīng)過(guò)S中頂點(diǎn)的最短路徑。

dist[u]:從s到u相對(duì)于S的最短路徑長(zhǎng)度

short[u]:從s到u最短路徑的長(zhǎng)度（算法最終解）

dist[u] ≥ short[u]

Dijkstra算法采用貪心算法模式，算法過(guò)程就是通過(guò)計(jì)算dist[u],不斷擴(kuò)充S集合，同時(shí)dist[u]會(huì)不斷優(yōu)化改善，直到dist[u] = short[u]，并將其放到S中，當(dāng)所有頂點(diǎn)都放入S集合時(shí)，算法結(jié)束。

輸入：加權(quán)有向圖G=(V,E,W)

          V={1,2,…,n}, s=1

輸出：從s到每個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑

輸入：G=(V,E,W)，源點(diǎn)1

          V={1,2,3,4,5,6}

初始S集合只有1，計(jì)算直接從1能到達(dá)的頂點(diǎn)的距離，其他不能從1號(hào)頂點(diǎn)直接到達(dá)的頂點(diǎn)都記為無(wú)窮大。此時(shí)從dist[u]里找出最短距離的頂點(diǎn)（6號(hào)），并將其放進(jìn)S集合。

  S={1}

  dist[1] = 0

  dist[2] = 10

  dist[6 ] = 3

  dist[3] = ∞

  dist[4] = ∞

  dist[5] = ∞

當(dāng)把6號(hào)頂點(diǎn)放進(jìn)S集合后，經(jīng)由6號(hào)頂點(diǎn)出發(fā)到達(dá)的頂點(diǎn)的最短距離可能會(huì)被優(yōu)化更新，因?yàn)樵撍惴ǖ乃枷牒堋柏澬摹?，誰(shuí)更短我要誰(shuí)！比如1->6->2要比1->2距離更短，所以dist[2]被更新為5，從專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)上講，這個(gè)“更新”過(guò)程叫做松弛，其他點(diǎn)同理。然后從dist[u]里找出最短的路徑的那個(gè)頂點(diǎn)（5號(hào)），并放進(jìn)S集合里。

  S={1,6}

  dist[1] = 0

 dist[6] = 3

  dist[2] = 5

  dist[4] = 9

  dist[5] = 4

  dist[3] = ∞

后面的操作步驟其實(shí)就是重復(fù)上面的操作。即當(dāng)S集合里有個(gè)新的頂點(diǎn)后，就可能會(huì)更新其他點(diǎn)的最短距離，更新一遍后，找出當(dāng)前最短距離的dist[u]，并將該頂點(diǎn)放進(jìn)S集合。后面不重復(fù)闡述。

  S={1,6,5}

  dist[1] = 0

 dist[6] = 3

  dist[5] = 4

  dist[2] = 5

  dist[4] = 9

  dist[3] = ∞

  S={1,6,5,2}

  dist[1] = 0

 dist[6] = 3

  dist[5] = 4

 dist[2] = 5

  dist[4] = 9

  dist[3] = 12

  S={1,6,5,2,4}

  dist[1] = 0

 dist[6] = 3

  dist[5] = 4

 dist[2] = 5

 dist[4] = 9

  dist[3] = 12

  S={1,6,5,2,4,3}

  dist[1] = 0

 dist[6] = 3

  dist[5] = 4

 dist[2] = 5

 dist[4] = 9

 dist[3] = 12

當(dāng)有向圖中的所有頂點(diǎn)都進(jìn)入了S集合后，算法結(jié)束，此時(shí)的dist[u]的值其實(shí)就是最初我們找出的那個(gè)最終解short[u]，所以，算法結(jié)束時(shí)，dist[u]=short[u],得到最終解。

三、dijkstra算法是什么？

迪杰斯特拉算法用來(lái)解決從頂點(diǎn)v0出發(fā)到其余頂點(diǎn)的最短路徑，該算法按照最短路徑長(zhǎng)度遞增的順序產(chǎn)生所以最短路徑。

對(duì)于圖G=（V，E），將圖中的頂點(diǎn)分成兩組：第一組S：已求出的最短路徑的終點(diǎn)集合（開(kāi)始為｛v0}）。第二組V-S：尚未求出最短路徑的終點(diǎn)集合（開(kāi)始為V-{v0}的全部結(jié)點(diǎn)）。

堆優(yōu)化

思考

該算法復(fù)雜度為n^2,我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊數(shù)遠(yuǎn)小于n^2,對(duì)此可以考慮用堆這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，取出最短路徑的復(fù)雜度降為O(1)；每次調(diào)整的復(fù)雜度降為O（elogn）；e為該點(diǎn)的邊數(shù)，所以復(fù)雜度降為O((m+n)logn)。

實(shí)現(xiàn)

1、將源點(diǎn)加入堆，并調(diào)整堆。

2、選出堆頂元素u（即代價(jià)最小的元素），從堆中刪除，并對(duì)堆進(jìn)行調(diào)整。

3、處理與u相鄰的，未被訪(fǎng)問(wèn)過(guò)的，滿(mǎn)足三角不等式的頂點(diǎn)

1):若該點(diǎn)在堆里，更新距離，并調(diào)整該元素在堆中的位置。

2):若該點(diǎn)不在堆里，加入堆，更新堆。

4、若取到的u為終點(diǎn)，結(jié)束算法；否則重復(fù)步驟2、3。

四、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的最短路徑算法有哪些？對(duì)應(yīng)哪些協(xié)議？

用于解決最短路徑問(wèn)題的算法被稱(chēng)做“最短路徑算法”，有時(shí)被簡(jiǎn)稱(chēng)作“路徑算法”。最常用的路徑算法有：

Dijkstra算法、A*算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法，本文主要介紹其中的三種。

最短路徑問(wèn)題是圖論研究中的一個(gè)經(jīng)典算法問(wèn)題，旨在尋找圖（由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的）中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。

算法具體的形式包括：

確定起點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題：即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題。

確定終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題：與確定起點(diǎn)的問(wèn)題相反，該問(wèn)題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題。在無(wú)向圖中該問(wèn)題與確定起點(diǎn)的問(wèn)題完全等同，在有向圖中該問(wèn)題等同于把所有路徑方向反轉(zhuǎn)的確定起點(diǎn)的問(wèn)題。

確定起點(diǎn)終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題：即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。

全局最短路徑問(wèn)題：求圖中所有的最短路徑。

Floyd

求多源、無(wú)負(fù)權(quán)邊的最短路。用矩陣記錄圖。時(shí)效性較差，時(shí)間復(fù)雜度O(V^3)。

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點(diǎn)間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負(fù)權(quán)的最短路徑問(wèn)題。

Floyd-Warshall算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(N^3)，空間復(fù)雜度為O(N^2)。

Floyd-Warshall的原理是動(dòng)態(tài)規(guī)劃：

設(shè)Di,j,k為從i到j(luò)的只以(1..k)集合中的節(jié)點(diǎn)為中間節(jié)點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度。

若最短路徑經(jīng)過(guò)點(diǎn)k，則Di,j,k = Di,k,k-1 + Dk,j,k-1；

若最短路徑不經(jīng)過(guò)點(diǎn)k，則Di,j,k = Di,j,k-1。

因此，Di,j,k = min(Di,k,k-1 + Dk,j,k-1 , Di,j,k-1)。

在實(shí)際算法中，為了節(jié)約空間，可以直接在原來(lái)空間上進(jìn)行迭代，這樣空間可降至二維。

Floyd-Warshall算法的描述如下：

for k ← 1 to n do

for i ← 1 to n do

for j ← 1 to n do

if (Di,k + Dk,j < Di,j) then

Di,j ← Di,k + Dk,j;

其中Di,j表示由點(diǎn)i到點(diǎn)j的代價(jià)，當(dāng)Di,j為 ∞ 表示兩點(diǎn)之間沒(méi)有任何連接。

Dijkstra

求單源、無(wú)負(fù)權(quán)的最短路。時(shí)效性較好，時(shí)間復(fù)雜度為O（V*V+E）,可以用優(yōu)先隊(duì)列進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后時(shí)間復(fù)雜度變?yōu)?（v*lgn）。

源點(diǎn)可達(dá)的話(huà)，O（V*lgV+E*lgV）=>O（E*lgV）。

當(dāng)是稀疏圖的情況時(shí)，此時(shí)E=V*V/lgV，所以算法的時(shí)間復(fù)雜度可為O（V^2） 。可以用優(yōu)先隊(duì)列進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后時(shí)間復(fù)雜度變?yōu)?（v*lgn）。

Bellman-Ford

求單源最短路，可以判斷有無(wú)負(fù)權(quán)回路（若有，則不存在最短路），時(shí)效性較好，時(shí)間復(fù)雜度O（VE）。

Bellman-Ford算法是求解單源最短路徑問(wèn)題的一種算法。

單源點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題是指：給定一個(gè)加權(quán)有向圖G和源點(diǎn)s，對(duì)于圖G中的任意一點(diǎn)v，求從s到v的最短路徑。

與Dijkstra算法不同的是，在Bellman-Ford算法中，邊的權(quán)值可以為負(fù)數(shù)。設(shè)想從我們可以從圖中找到一個(gè)環(huán)

路（即從v出發(fā)，經(jīng)過(guò)若干個(gè)點(diǎn)之后又回到v）且這個(gè)環(huán)路中所有邊的權(quán)值之和為負(fù)。那么通過(guò)這個(gè)環(huán)路，環(huán)路中任意兩點(diǎn)的最短路徑就可以無(wú)窮小下去。如果不處理這個(gè)負(fù)環(huán)路，程序就會(huì)永遠(yuǎn)運(yùn)行下去。 而B(niǎo)ellman-Ford算法具有分辨這種負(fù)環(huán)路的能力。

SPFA

是Bellman-Ford的隊(duì)列優(yōu)化，時(shí)效性相對(duì)好，時(shí)間復(fù)雜度O（kE）。（k< 與Bellman-ford算法類(lèi)似，SPFA算法采用一系列的松弛操作以得到從某一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)到達(dá)圖中其它所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑。所不同的是，SPFA算法通過(guò)維護(hù)一個(gè)隊(duì)列，使得一個(gè)節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前最短路徑被更新之后沒(méi)有必要立刻去更新其他的節(jié)點(diǎn)，從而大大減少了重復(fù)的操作次數(shù)。

SPFA算法可以用于存在負(fù)數(shù)邊權(quán)的圖，這與dijkstra算法是不同的。

與Dijkstra算法與Bellman-ford算法都不同，SPFA的算法時(shí)間效率是不穩(wěn)定的，即它對(duì)于不同的圖所需要的時(shí)間有很大的差別。

在最好情形下，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都只入隊(duì)一次，則算法實(shí)際上變?yōu)閺V度優(yōu)先遍歷，其時(shí)間復(fù)雜度僅為O(E)。另一方面，存在這樣的例子，使得每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都被入隊(duì)(V-1)次，此時(shí)算法退化為Bellman-ford算法，其時(shí)間復(fù)雜度為O(VE)。

SPFA算法在負(fù)邊權(quán)圖上可以完全取代Bellman-ford算法，另外在稀疏圖中也表現(xiàn)良好。但是在非負(fù)邊權(quán)圖中，為了避免最壞情況的出現(xiàn)，通常使用效率更加穩(wěn)定的Dijkstra算法，以及它的使用堆優(yōu)化的版本。通常的SPFA。

以上就是關(guān)于圖最短路徑算法相關(guān)問(wèn)題的回答。希望能幫到你，如有更多相關(guān)問(wèn)題，您也可以聯(lián)系我們的客服進(jìn)行咨詢(xún)，客服也會(huì)為您講解更多精彩的知識(shí)和內(nèi)容。

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