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同號函數(shù)的定義（同號函數(shù)的定義域怎么求）

發(fā)布時間：2023-04-25 10:22:47 稿源：創(chuàng)意嶺閱讀： 190

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關(guān)于同號函數(shù)的定義的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

1、什么是函數(shù)?
2、請問大神能不能舉個例子:某極值點(diǎn)左右鄰域?qū)?shù)同號的函數(shù)。
3、函數(shù)可導(dǎo)與二階混合求導(dǎo)一定同號嗎？
4、函數(shù)的定義？

同號函數(shù)的定義（同號函數(shù)的定義域怎么求）

一、什么是函數(shù)?

函數(shù)的定義：給定一個數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x?，F(xiàn)對A中的元素x施加對應(yīng)法則f，記作f（x），得到另一數(shù)集B。假設(shè)B中的元素為y。則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f（x）表示。我們把這個關(guān)系式就叫函數(shù)關(guān)系式，簡稱函數(shù)。函數(shù)概念含有三個要素：定義域A、值域C和對應(yīng)法則f。其中核心是對應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

擴(kuò)展資料

表示

首先要理解，函數(shù)是發(fā)生在集合之間的一種對應(yīng)關(guān)系。然后，要理解發(fā)生在A、B之間的函數(shù)關(guān)系不止且不止一個。最后，要重點(diǎn)理解函數(shù)的三要素。

函數(shù)的對應(yīng)法則通常用解析式表示，但大量的函數(shù)關(guān)系是無法用解析式表示的，可以用圖像、表格及其他形式表示。

概念

在一個變化過程中，發(fā)生變化的量叫變量（數(shù)學(xué)中，常常為x，而y則隨x值的變化而變化），有些數(shù)值是不隨變量而改變的，我們稱它們?yōu)槌Ａ俊?/p>

自變量（函數(shù)）：一個與它量有關(guān)聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在它量中找到對應(yīng)的固定值。

因變量（函數(shù)）：隨著自變量的變化而變化，且自變量取唯一值時，因變量（函數(shù)）有且只有唯一值與其相對應(yīng)。

函數(shù)值：在y是x的函數(shù)中，x確定一個值，y就隨之確定一個值，當(dāng)x取a時，y就隨之確定為b，b就叫做a的函數(shù)值。

映射定義

設(shè)A和B是兩個非空集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系，對于集合A中的任何一個元素a，在集合B中都存在唯一的一個元素b與之對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)（包括集合A，B，以及集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f）叫做集合A到集合B的映射（Mapping），記作。其中，b稱為a在映射f下的象，記作： ; a稱為b關(guān)于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合記作f（A）。

則有：定義在非空數(shù)集之間的映射稱為函數(shù)。（函數(shù)的自變量是一種特殊的原象，因變量是特殊的象）

幾何含義

函數(shù)與不等式和方程存在聯(lián)系（初等函數(shù)）。令函數(shù)值等于零，從幾何角度看，對應(yīng)的自變量的值就是圖像與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；從代數(shù)角度看，對應(yīng)的自變量是方程的解。另外，把函數(shù)的表達(dá)式（無表達(dá)式的函數(shù)除外）中的“=”換成“<”或“>”，再把“Y”換成其它代數(shù)式，函數(shù)就變成了不等式，可以求自變量的范圍。

集合論

如果X到Y(jié)的二元關(guān)系，對于每個，都有唯一的，使得，則稱f為X到Y(jié)的函數(shù)，記做：

參考資料函數(shù)（數(shù)學(xué)函數(shù)）_百度百科

二、請問大神能不能舉個例子:某極值點(diǎn)左右鄰域?qū)?shù)同號的函數(shù)。

那樣的函數(shù)是不存在的！

原因是：

1）如果是極小值點(diǎn)，在其鄰域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)大于0，

而極值點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)為0，那么鄰域內(nèi)極值點(diǎn)處

左右一階導(dǎo)數(shù)必變號！

2）對極大值點(diǎn)也是如此；

3）對于：y=x³，x=0 鄰域內(nèi)，一階導(dǎo)數(shù)不變號，

但 x=0, 不是極值點(diǎn)，而是拐點(diǎn)！

三、函數(shù)可導(dǎo)與二階混合求導(dǎo)一定同號嗎？

1、對于任何二元函數(shù)，只要二階可導(dǎo)，混導(dǎo)就一定相等。也就是說，二階混導(dǎo)的結(jié)果跟求導(dǎo)的順序無關(guān)。

2、二階混導(dǎo)相等的證明，有兩種方法：

A、根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義證明；

B、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)中值定理證明。

代數(shù)記法：

二階導(dǎo)數(shù)記作：

即y''=（y）。

例如：y=x²的導(dǎo)數(shù)為y'=2x，二階導(dǎo)數(shù)即y'=2x的導(dǎo)數(shù)為y''=2。

函數(shù)可導(dǎo)的條件：

如果一個函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，即函數(shù)在其上都有定義。函數(shù)在定義域中一點(diǎn)可導(dǎo)需要一定的條件：函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，不能證明這點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在。只有左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，并且在該點(diǎn)連續(xù)，才能證明該點(diǎn)可導(dǎo)。

可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

四、函數(shù)的定義？

增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴(yán)格增函數(shù)和嚴(yán)格減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。和單調(diào)函數(shù)區(qū)別如下：

1、含義不同

嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)就是不能包含端點(diǎn)。單調(diào)函數(shù)是指，對于整個定義域而言，函數(shù)具有單調(diào)性。而不是針對定義域的子區(qū)間而言。

2、定義域不同

嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)其定義域的兩端只能是＞號或者＜號，而單調(diào)函數(shù)在端點(diǎn)處則可取等號，比如一個開口向下的二次函數(shù)在對稱軸的左邊單增右邊單減，但是在對稱軸的地方本來等號兩者皆可取，但是是嚴(yán)格單調(diào)的。

函數(shù)概念：

在一個變化過程中，發(fā)生變化的量叫變量（數(shù)學(xué)中，變量為x，而y則隨x值的變化而變化），有些數(shù)值是不隨變量而改變的，我們稱它們?yōu)槌Ａ俊?/p>

自變量（函數(shù)）：一個與它量有關(guān)聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在它量中找到對應(yīng)的固定值。

因變量（函數(shù)）：隨著自變量的變化而變化，且自變量取唯一值時，因變量（函數(shù)）有且只有唯一值與其相對應(yīng)。

函數(shù)值：在y是x的函數(shù)中，x確定一個值，y就隨之確定一個值，當(dāng)x取a時，y就隨之確定為b，b就叫做a的函數(shù)值。