正文

經(jīng)過(guò)所有點(diǎn)的最短路徑算法（經(jīng)過(guò)所有的點(diǎn)求最短的路線）

發(fā)布時(shí)間：2023-04-22 06:09:32 稿源：創(chuàng)意嶺閱讀： 124

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來(lái)大家介紹下關(guān)于經(jīng)過(guò)所有點(diǎn)的最短路徑算法的問(wèn)題，以下是小編對(duì)此問(wèn)題的歸納整理，讓我們一起來(lái)看看吧。

開(kāi)始之前先推薦一個(gè)非常厲害的Ai人工智能工具，一鍵生成原創(chuàng)文章、方案、文案、工作計(jì)劃、工作報(bào)告、論文、代碼、作文、做題和對(duì)話答疑等等

只需要輸入關(guān)鍵詞，就能返回你想要的內(nèi)容，越精準(zhǔn)，寫(xiě)出的就越詳細(xì)，有微信小程序端、在線網(wǎng)頁(yè)版、PC客戶端

官網(wǎng)：https://ai.de1919.com。

創(chuàng)意嶺作為行業(yè)內(nèi)優(yōu)秀的企業(yè)，服務(wù)客戶遍布全球各地，如需了解SEO相關(guān)業(yè)務(wù)請(qǐng)撥打電話175-8598-2043，或添加微信：1454722008

本文目錄:

1、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之圖：求所有節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑，用什么算法時(shí)間復(fù)雜度?。壳蟠鸢概c解釋
2、最短路徑 | 深入淺出Dijkstra算法（一）
3、圖遍歷算法之最短路徑Dijkstra算法
4、最短路Dijkstra算法怎么求起點(diǎn)到終點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程，就是把經(jīng)過(guò)的每個(gè)點(diǎn)都顯示出來(lái)，用c和c++都可，大牛來(lái)吧

經(jīng)過(guò)所有點(diǎn)的最短路徑算法（經(jīng)過(guò)所有的點(diǎn)求最短的路線）

一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之圖：求所有節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑，用什么算法時(shí)間復(fù)雜度?。壳蟠鸢概c解釋

兩者時(shí)間復(fù)雜度一般都是O(n3)，但對(duì)于稀疏圖來(lái)說(shuō)重復(fù)使用Dijkstra方法比較好！

Dijkstra算法時(shí)間復(fù)雜度為O（V*V+E）,可以用優(yōu)先隊(duì)列進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后時(shí)間復(fù)雜

度變?yōu)?（v*lgn）。

源點(diǎn)可達(dá)的話，O（V*lgV+E*lgV）=>O（E*lgV）。

當(dāng)是稀疏圖的情況時(shí)，此時(shí)E=V*V/lgV，所以算法的時(shí)間復(fù)雜度可為O（V^2） ?？梢杂脙?yōu)先隊(duì)列進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后時(shí)間復(fù)雜度變?yōu)?（v*lgn）。

具體詳細(xì)解釋你可以看看這個(gè)http://blog.chinaunix.net/uid-27164517-id-3287891.html。

二、最短路徑 | 深入淺出Dijkstra算法（一）

上次我們介紹了神奇的只有 五行的 Floyd-Warshall 最短路算法 ，它可以方便的求得 任意兩點(diǎn)的最短路徑， 這稱(chēng)為 “多源最短路”。

這次來(lái)介紹 指定一個(gè)點(diǎn)（源點(diǎn)）到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑， 也叫做 “單源最短路徑”。 例如求下圖中的 1 號(hào)頂點(diǎn)到 2、3、4、5、6 號(hào)頂點(diǎn)的最短路徑。

與 Floyd-Warshall 算法一樣，這里仍然 使用二維數(shù)組 e 來(lái)存儲(chǔ)頂點(diǎn)之間邊的關(guān)系， 初始值如下。

我們還需要用 一個(gè)一維數(shù)組 dis 來(lái)存儲(chǔ) 1 號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的初始路程， 我們可以稱(chēng) dis 數(shù)組為 “距離表”， 如下。

我們將此時(shí) dis 數(shù)組中的值稱(chēng)為 最短路的“估計(jì)值”。

既然是 求 1 號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路程， 那就 先找一個(gè)離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。

通過(guò)數(shù)組 dis 可知當(dāng)前離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近是 2 號(hào)頂點(diǎn)。 當(dāng)選擇了 2 號(hào)頂點(diǎn)后，dis[2]的值就已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”， 即 1 號(hào)頂點(diǎn)到 2 號(hào)頂點(diǎn)的最短路程就是當(dāng)前 dis[2]值。

為什么呢？你想啊，目前離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的是 2 號(hào)頂點(diǎn)，并且這個(gè)圖所有的邊都是正數(shù)，那么肯定不可能通過(guò)第三個(gè)頂點(diǎn)中轉(zhuǎn)，使得 1 號(hào)頂點(diǎn)到 2 號(hào)頂點(diǎn)的路程進(jìn)一步縮短了。因此 1 號(hào)頂點(diǎn)到其它頂點(diǎn)的路程肯定沒(méi)有 1 號(hào)到 2 號(hào)頂點(diǎn)短，對(duì)吧 O(∩_∩)O~

既然選了 2 號(hào)頂點(diǎn)，接下來(lái)再來(lái)看 2 號(hào)頂點(diǎn) 有哪些出邊呢。有 2->3 和 2->4 這兩條邊。

先討論 通過(guò) 2->3 這條邊能否讓 1 號(hào)頂點(diǎn)到 3 號(hào)頂點(diǎn)的路程變短。 也就是說(shuō)現(xiàn)在來(lái)比較 dis[3] 和 dis[2]+e[2][3] 的大小。其中 dis[3]表示 1 號(hào)頂點(diǎn)到 3 號(hào)頂點(diǎn)的路程，dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 號(hào)頂點(diǎn)到 2 號(hào)頂點(diǎn)的路程，e[2][3]表示 2->3 這條邊。所以 dis[2]+e[2][3]就表示從 1 號(hào)頂點(diǎn)先到 2 號(hào)頂點(diǎn)，再通過(guò) 2->3 這條邊，到達(dá) 3 號(hào)頂點(diǎn)的路程。

我們發(fā)現(xiàn) dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新為 10。這個(gè)過(guò)程有個(gè)專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)叫做 “松弛” 。即 1 號(hào)頂點(diǎn)到 3 號(hào)頂點(diǎn)的路程即 dis[3]，通過(guò) 2->3 這條邊 松弛成功。 這便是 Dijkstra 算法的主要思想：通過(guò) “邊” 來(lái)松弛 1 號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的路程。

同理通過(guò) 2->4（e[2][4]），可以將 dis[4]的值從 ∞ 松弛為 4（dis[4]初始為 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新為 4）。

剛才我們對(duì) 2 號(hào)頂點(diǎn)所有的出邊進(jìn)行了松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

接下來(lái)，繼續(xù)在剩下的 3、4、5 和 6 號(hào)頂點(diǎn)中，選出離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。通過(guò)上面更新過(guò) dis 數(shù)組，當(dāng)前離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近是 4 號(hào)頂點(diǎn)。此時(shí)，dis[4]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。下面繼續(xù)對(duì) 4 號(hào)頂點(diǎn)的所有出邊（4->3，4->5 和 4->6）用剛才的方法進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

繼續(xù)在剩下的 3、5 和 6 號(hào)頂點(diǎn)中，選出離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)，這次選擇 3 號(hào)頂點(diǎn)。此時(shí)，dis[3]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。對(duì) 3 號(hào)頂點(diǎn)的所有出邊（3->5）進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

繼續(xù)在剩下的 5 和 6 號(hào)頂點(diǎn)中，選出離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)，這次選擇 5 號(hào)頂點(diǎn)。此時(shí)，dis[5]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。對(duì)5號(hào)頂點(diǎn)的所有出邊（5->4）進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

最后對(duì) 6 號(hào)頂點(diǎn)的所有出邊進(jìn)行松弛。因?yàn)檫@個(gè)例子中 6 號(hào)頂點(diǎn)沒(méi)有出邊，因此不用處理。 到此，dis 數(shù)組中所有的值都已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。

最終 dis 數(shù)組如下，這便是 1 號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑。

OK，現(xiàn)在來(lái)總結(jié)一下剛才的算法。 Dijkstra算法的基本思想是：每次找到離源點(diǎn)（上面例子的源點(diǎn)就是 1 號(hào)頂點(diǎn)）最近的一個(gè)頂點(diǎn)，然后以該頂點(diǎn)為中心進(jìn)行擴(kuò)展，最終得到源點(diǎn)到其余所有點(diǎn)的最短路徑。

基本步驟如下：

在博客中看到兩個(gè)比較有趣的問(wèn)題，也是在學(xué)習(xí)Dijkstra時(shí)，可能會(huì)有疑問(wèn)的問(wèn)題。

當(dāng)我們看到上面這個(gè)圖的時(shí)候，憑借多年對(duì)平面幾何的學(xué)習(xí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)在“三角形ABC”中，滿足不了 構(gòu)成三角形的條件(任意兩邊之和大于第三邊)。 納尼，那為什么圖中能那樣子畫(huà)？

還是“三角形ABC”，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，如果按照平面幾何的知識(shí)， “兩點(diǎn)之間線段最短”， 那么，A到B的最短距離就應(yīng)該是6(線段AB)，但是，實(shí)際上A到B的最短距離卻是3+2=5。這又怎么解釋?zhuān)?/p>

其實(shí)，之所以會(huì)有上面的疑問(wèn)，是因?yàn)?strong> 對(duì)邊的權(quán)值和邊的長(zhǎng)度這兩個(gè)概念的混淆，。之所以這樣畫(huà)，也只是為了方便理解（每個(gè)人寫(xiě)草稿的方式不同，你完全可以用別的方式表示，只要便于你理解即可）。

PS：數(shù)組實(shí)現(xiàn)鄰接表可能較難理解，可以看一下這里

參考資料：

Dijkstra算法是一種基于貪心策略的算法。每次新擴(kuò)展一個(gè)路程最短的點(diǎn)，更新與其相鄰的點(diǎn)的路程。當(dāng)所有邊權(quán)都為正時(shí)，由于不會(huì)存在一個(gè)路程更短的沒(méi)擴(kuò)展過(guò)的點(diǎn)，所以這個(gè)點(diǎn)的路程永遠(yuǎn)不會(huì)再被改變，因而保證了算法的正確性。

根據(jù)這個(gè)原理， 用Dijkstra算法求最短路徑的圖不能有負(fù)權(quán)邊， 因?yàn)閿U(kuò)展到負(fù)權(quán)邊的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生更短的路徑，有可能破壞了已經(jīng)更新的點(diǎn)路徑不會(huì)發(fā)生改變的性質(zhì)。

那么，有沒(méi)有可以求帶負(fù)權(quán)邊的指定頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑算法（即“單源最短路徑”問(wèn)題）呢？答案是有的， Bellman-Ford算法 就是一種。（我們已經(jīng)知道了 Floyd-Warshall 可以解決“多源最短路”問(wèn)題，也要求圖的邊權(quán)均為正）

通過(guò) 鄰接矩陣 的Dijkstra時(shí)間復(fù)雜度是。其中每次找到離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)的時(shí)間復(fù)雜度是 O(N)，這里我們可以用 優(yōu)先隊(duì)列（堆） 來(lái)優(yōu)化，使得這一部分的時(shí)間復(fù)雜度降低到。這個(gè)我們將在后面討論。

三、圖遍歷算法之最短路徑Dijkstra算法

最短路徑問(wèn)題是圖論研究中一個(gè)經(jīng)典算法問(wèn)題，旨在尋找圖中兩節(jié)點(diǎn)或單個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。根據(jù)問(wèn)題的不同，算法的具體形式包括：

常用的最短路徑算法包括：Dijkstra算法，A 算法，Bellman-Ford算法，SPFA算法（Bellman-Ford算法的改進(jìn)版本），F(xiàn)loyd-Warshall算法，Johnson算法以及Bi-direction BFS算法。本文將重點(diǎn)介紹Dijkstra算法的原理以及實(shí)現(xiàn)。

Dijkstra算法，翻譯作戴克斯特拉算法或迪杰斯特拉算法，于1956年由荷蘭計(jì)算機(jī)科學(xué)家艾茲赫爾.戴克斯特拉提出，用于解決賦權(quán)有向圖的 單源最短路徑問(wèn)題 。所謂單源最短路徑問(wèn)題是指確定起點(diǎn)，尋找該節(jié)點(diǎn)到圖中任意節(jié)點(diǎn)的最短路徑，算法可用于尋找兩個(gè)城市中的最短路徑或是解決著名的旅行商問(wèn)題。

問(wèn)題描述 ：在無(wú)向圖中，為圖節(jié)點(diǎn)的集合，為節(jié)點(diǎn)之間連線邊的集合。假設(shè)每條邊的權(quán)重為，找到由頂點(diǎn) 到其余各個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短路徑（單源最短路徑）。

為帶權(quán)無(wú)向圖，圖中頂點(diǎn) 分為兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點(diǎn)集合（用表示）。初始時(shí) 只有源點(diǎn)，當(dāng)求得一條最短路徑時(shí)，便將新增頂點(diǎn)添加進(jìn) ，直到所有頂點(diǎn)加入中，算法結(jié)束。第二組為未確定最短路徑頂點(diǎn)集合（用表示），隨著中頂點(diǎn)增加，中頂點(diǎn)逐漸減少。

以下圖為例，對(duì)Dijkstra算法的工作流程進(jìn)行演示（以頂點(diǎn) 為起點(diǎn)）：

注：

01）是已計(jì)算出最短路徑的頂點(diǎn)集合；

02）是未計(jì)算出最短路徑的頂點(diǎn)集合；

03）表示頂點(diǎn) 到頂點(diǎn) 的最短距離為3

第1步 ：選取頂點(diǎn) 添加進(jìn)

第2步 ：選取頂點(diǎn) 添加進(jìn) ，更新中頂點(diǎn)最短距離

第3步 ：選取頂點(diǎn) 添加進(jìn) ，更新中頂點(diǎn)最短距離

第4步 ：選取頂點(diǎn) 添加進(jìn) ，更新中頂點(diǎn)最短距離

第5步 ：選取頂點(diǎn) 添加進(jìn) ，更新中頂點(diǎn)最短距離

第6步 ：選取頂點(diǎn) 添加進(jìn) ，更新中頂點(diǎn)最短距離

第7步 ：選取頂點(diǎn) 添加進(jìn) ，更新中頂點(diǎn)最短距離

示例：node編號(hào)1-7分別代表A,B,C,D,E,F,G

(s.paths <- shortest.paths(g, algorithm = "dijkstra"))輸出結(jié)果：

(s.paths <- shortest.paths(g,4, algorithm = "dijkstra"))輸出結(jié)果：

示例：

找到D（4）到G（7）的最短路徑：

[1] 維基百科，最短路徑問(wèn)題： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E7%9F%AD%E8%B7%AF%E9%97%AE%E9%A2%98 ；

[2]CSDN，Dijkstra算法原理： https://blog.csdn.net/yalishadaa/article/details/55827681 ;

[3]RDocumentation: https://www.rdocumentation.org/packages/RNeo4j/versions/1.6.4/topics/dijkstra ;

[4]RDocumentation: https://www.rdocumentation.org/packages/igraph/versions/0.1.1/topics/shortest.paths ;

[5]Pypi: https://pypi.org/project/Dijkstar/

四、最短路Dijkstra算法怎么求起點(diǎn)到終點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程，就是把經(jīng)過(guò)的每個(gè)點(diǎn)都顯示出來(lái)，用c和c++都可，大牛來(lái)吧

是要怎么顯示，你的源程序里面已經(jīng)可以顯示經(jīng)過(guò)的所有點(diǎn)了

以上就是關(guān)于經(jīng)過(guò)所有點(diǎn)的最短路徑算法相關(guān)問(wèn)題的回答。希望能幫到你，如有更多相關(guān)問(wèn)題，您也可以聯(lián)系我們的客服進(jìn)行咨詢(xún)，客服也會(huì)為您講解更多精彩的知識(shí)和內(nèi)容。