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logn的算法（logn的算法復雜度）

發(fā)布時間：2023-04-08 15:17:44 稿源：創(chuàng)意嶺閱讀： 100

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關于logn的算法的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

1、對數(shù)的運算法則
2、關于log的公式
3、幾個數(shù)學證明題，關于log的計算，求解答，高分懸賞
4、c++請問O(nlogn), O(1)分別指什么我知道O(n)指線性

logn的算法（logn的算法復雜度）

一、對數(shù)的運算法則

［log(a)(x)表示a為底x的對數(shù)］

log(a)(x)＋log(a)(y)=log(a)(xy);log(a)(x)－log(a)(y)=log(a)(x/y)

log(a^m)(x^n)=(n/m)log(a)(x)

換底公式log(a)(x)=log(b)(x)/log(b)(a)

=lg(x)/lg(a)=ln(x)/ln(a)

二、關于log的公式

當a>0且a≠1時，M>0,N>0，那么：

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）

(4)log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R)

（5）換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）　

(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 證明：設a=n^x則a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)

(7)對數(shù)恒等式：a^log（a)N=N; log（a）a^b=b 　

（8）由冪的對數(shù)的運算性質可得(推導公式)

1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M

2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

4.log(以 n次根號下的a 為底)(以 n次根號下的M 為真數(shù))=log(a)M , log(以 n次根號下的a 為底)(以 m次根號下的M 為真數(shù))=(n/m)log(a)M

5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

三、幾個數(shù)學證明題，關于log的計算，求解答，高分懸賞

你就記住一點，任何大于0的n 取了log之后，就再也無法和之前的自己n平起平坐，哪怕是n的delta次方，delta特別小。因為考慮從f(n) = n^a - logn 求導得f‘(n) = a*n^(a-1)-1/n = (a*n^a - 1)/n 所以當n很大很大的時候a*n^a 一定是大于1的，所以導函數(shù)大于0，函數(shù)遞增到?jīng)]有盡頭，從而n^a 把 logn 遠遠甩在身后。

所以(a) 兩邊取log得到 logn平方 vs n*loglogn 有n的完勝，右贏

(b) klogn vs logn的k次方這個很顯然k是0或是負，都是klogn負，logn的k次方正，沒得比；

其次兩邊取log變成logk + loglogn vs k*loglogn 所以當k在0,1之間，左贏；k=1，打平；k>1 右贏

變成logn * logloglogn vs ... 總之右邊有n，右邊完勝。

(d) 還是stirling，n^n vs sqrt(2*pi*n)/exp(n) * n^n 這個sqrt(2*pi*n)/exp(n) 顯然比1要小，左勝

四、c++請問O(nlogn), O(1)分別指什么我知道O(n)指線性

這是算法的時空復雜度的表示。不僅僅用于表示時間復雜度，也用于表示空間復雜度。

O后面的括號中有一個函數(shù)，指明某個算法的耗時/耗空間與數(shù)據(jù)增長量之間的關系。其中的n代表輸入數(shù)據(jù)的量。

比如時間復雜度為O(n)，就代表數(shù)據(jù)量增大幾倍，耗時也增大幾倍。比如常見的遍歷算法。

再比如時間復雜度O(n^2)，就代表數(shù)據(jù)量增大n倍時，耗時增大n的平方倍，這是比線性更高的時間復雜度。比如冒泡排序，就是典型的O(n^2)的算法，對n個數(shù)排序，需要掃描n×n次。

再比如O(logn)，當數(shù)據(jù)增大n倍時，耗時增大logn倍（這里的log是以2為底的，比如，當數(shù)據(jù)增大256倍時，耗時只增大8倍，是比線性還要低的時間復雜度）。二分查找就是O(logn)的算法，每找一次排除一半的可能，256個數(shù)據(jù)中查找只要找8次就可以找到目標。

O(nlogn)同理，就是n乘以logn，當數(shù)據(jù)增大256倍時，耗時增大256*8=2048倍。這個復雜度高于線性低于平方。歸并排序就是O(nlogn)的時間復雜度。

O(1)就是最低的時空復雜度了，也就是耗時/耗空間與輸入數(shù)據(jù)大小無關，無論輸入數(shù)據(jù)增大多少倍，耗時/耗空間都不變。哈希算法就是典型的O(1)時間復雜度，無論數(shù)據(jù)規(guī)模多大，都可以在一次計算后找到目標（不考慮沖突的話）

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