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一階必要條件（一階必要條件是什么意思）

發(fā)布時(shí)間：2023-04-07 17:21:31 稿源：創(chuàng)意嶺閱讀： 88

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來(lái)大家介紹下關(guān)于一階必要條件的問(wèn)題，以下是小編對(duì)此問(wèn)題的歸納整理，讓我們一起來(lái)看看吧。

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本文目錄:

1、一階邏輯的詳細(xì)內(nèi)容
2、一階導(dǎo)數(shù)等于零一定就是極值嗎?不是如何判斷?
3、二階導(dǎo)數(shù)恒正，則一階導(dǎo)數(shù)一定遞增。這句話是對(duì)的嗎？如果正確，是必要條件還是充分條件？
4、想問(wèn)一下這兩道題怎么做啊，謝謝啦

一階必要條件（一階必要條件是什么意思）

一、一階邏輯的詳細(xì)內(nèi)容

在一階邏輯中描述一個(gè)數(shù)學(xué)理論，首先會(huì)涉及這個(gè)理論所討論的對(duì)象、定義在這些對(duì)象上的函數(shù)、以及這些對(duì)象之間的關(guān)系或性質(zhì)。數(shù)學(xué)理論所討論的對(duì)象稱為個(gè)體，由個(gè)體組成的非空集合稱為論域或個(gè)體域。按通常數(shù)學(xué)中的定義，一個(gè)n元函數(shù)就是從論域A的個(gè)體的所有n元組的集合至A中的一個(gè)映射。A中個(gè)體的n元組（α1，α2，…，αn）經(jīng)映射F對(duì)應(yīng)到A中的個(gè)體表示為F（α1，α2，…，αn）。函數(shù)增加了個(gè)體的表達(dá)形式。人們也考慮論域A中哪些n元組滿足關(guān)系R，即A中哪些n元組（α1，α2，…，αn）使得R（α1，α2，…，αn）為真。此時(shí)的R（α1，α2，…，αn）就是一個(gè)命題。

在各種關(guān)系中，相等關(guān)系是經(jīng)常要用的。因?yàn)槌３Ｐ枰啦煌瑐€(gè)體的表達(dá)式是否指稱同一個(gè)對(duì)象。例如3+3與2×3是否表示同一個(gè)數(shù)。

可以將關(guān)系或命題用命題連接詞來(lái)構(gòu)成更復(fù)雜的關(guān)系或命題。當(dāng)描述一些個(gè)數(shù)為無(wú)窮的對(duì)象的性質(zhì)時(shí)，就需要引進(jìn)量詞。例如說(shuō)“對(duì)任何一個(gè)自然數(shù)，都有一個(gè)比它大的素?cái)?shù)”時(shí)，就引進(jìn)了量詞“所有個(gè)體”及“存在個(gè)體”，并且將關(guān)系或命題經(jīng)量詞構(gòu)成了更復(fù)雜的關(guān)系或命題。“論域中的所有個(gè)體”稱為全稱量詞，由它所構(gòu)成的命題“論域中所有的個(gè)體有某性質(zhì)”，當(dāng)論域中所有個(gè)體都有此性質(zhì)時(shí)，此命題是真的，否則為假?！罢撚蛑写嬖趥€(gè)體”稱為存在量詞，由它所構(gòu)成的命題“論域中存在個(gè)體有某性質(zhì)”，當(dāng)論域中某些個(gè)體有此性質(zhì)時(shí)為真，否則為假。

“所有個(gè)體”、“存在個(gè)體”中，量詞加在論域的個(gè)體上，稱為一階量詞。在一階邏輯中使用的量詞僅限于一階量詞?！八泻瘮?shù)”、“存在函數(shù)”、“所有關(guān)系”和“存在關(guān)系”是二階量詞。此外還有更高階的量詞。相應(yīng)地也有二階邏輯、高階邏輯等。

按照建立形式系統(tǒng)的一般原則（見(jiàn)邏輯演算），一階邏輯的形式系統(tǒng)應(yīng)包括它的語(yǔ)言，即一階語(yǔ)言，以及邏輯公理和推理規(guī)則。一階語(yǔ)言的符號(hào)包括以下幾類。

① 個(gè)體變?cè)獂，y，z，…。

② 函數(shù)符號(hào)（表示函數(shù)），g，h，…；個(gè)體符號(hào)（表示論域中的個(gè)體） α，b，с，…；及謂詞（表示關(guān)系）p,Q，R，…。其中有一個(gè)二元謂詞=，稱為等詞（表示恒同關(guān)系）。

③ 命題聯(lián)結(jié)詞┐，∧，∨，→，以及量詞（存在量詞），（全稱量詞）。

①，③及等詞稱為邏輯符號(hào)，其他符號(hào)，即等詞外的②稱為非邏輯符號(hào)。

歸納地定義一階語(yǔ)言的項(xiàng)和公式，也稱之為形成規(guī)則。項(xiàng)的定義：

① 變?cè)蛡€(gè)體符號(hào)是項(xiàng)。

② 若t1,t2，…，tn是項(xiàng)，是一個(gè)n元函數(shù)符號(hào)，則（t1,t2，…，tn）是項(xiàng)。

公式可定義為：

① 若t1,t2，…，tn是項(xiàng)，p是n元謂詞符號(hào)，則p(t1,t2，…，tn）是公式，也稱為原子公式。

② 若A是公式，則塡A是公式；若A，B是公式，則A∧B，A∨B，A→B，A凮B是公式。

③ 若A是公式，則xA，凬xA是公式。

如果變?cè)獂出現(xiàn)在公式 A中形如xB或凬xB的部分，稱這個(gè)出現(xiàn)為x在A中的約束出現(xiàn)；否則，稱為x在A中的自由出現(xiàn)。例如在公式x=0∨x(x>0）中，第一個(gè)x是自由出現(xiàn)，第二、三個(gè)x是約束出現(xiàn)。沒(méi)有變?cè)杂沙霈F(xiàn)的公式稱為閉公式。

謂詞演算作為一個(gè)形式系統(tǒng)，可以規(guī)定它的解釋。給定一個(gè)論域，對(duì)于謂詞演算中出現(xiàn)的個(gè)體符號(hào)、函數(shù)符號(hào)及謂詞依次解釋為論域中的個(gè)體及定義在此論域上的函數(shù)及關(guān)系。此論域及其對(duì)于謂詞演算中形式符號(hào)的解釋稱為該演算的一個(gè)結(jié)構(gòu)或模型。由對(duì)于個(gè)體符號(hào)和函數(shù)符號(hào)的解釋可知，項(xiàng)可解釋為復(fù)合函數(shù)，它指稱個(gè)體。原子公式p(t1,t2，…，tn）解釋為t1,t2，…，tn所指稱的個(gè)體滿足n元關(guān)系p。若公式A(x）表示關(guān)系，則凬xA(x）解釋為論域中所有個(gè)體滿足關(guān)系A(chǔ)，xA(x）解釋為論域中存在某個(gè)體滿足關(guān)系A(chǔ)。

謂詞演算的推理規(guī)則可規(guī)定如下：

謂詞演算的邏輯公理陳述邏輯符號(hào)的性質(zhì)，分為三類：

① 命題公理將重言式（見(jiàn)命題邏輯）中出現(xiàn)的命題變?cè)灾^詞演算中的任意公式后得到的公式；

② 恒同公理 x=x及相等性公理

③ 替換公理 Ax【α】→xA及凬xA→Ax【α】，其中Ax【α】表示將公式A中所有x的自由出現(xiàn)代之以項(xiàng)α。

謂詞演算的公理，即邏輯公理并不界定具體的函數(shù)或關(guān)系，而僅僅處理邏輯詞項(xiàng)的一般性質(zhì)。換言之，對(duì)它的個(gè)體符號(hào)、函數(shù)符號(hào)、及謂詞的解釋可以是任意論域中的任意個(gè)體、函數(shù)及關(guān)系。謂詞演算的這個(gè)抽象性質(zhì)對(duì)于近年來(lái)模型論的發(fā)展是本質(zhì)的。

在謂詞演算的框架中，用形式語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)的公理（并不一定能完全表述），就得到不同數(shù)學(xué)理論的形式系統(tǒng)。這類形式公理刻畫(huà)了某些具體的非邏輯符號(hào)的性質(zhì)，稱為非邏輯公理。例如：

全序理論的形式系統(tǒng)中僅有一個(gè)非邏輯符號(hào)二元謂詞≤。除邏輯公理外，它還有非邏輯公理：①x≤y∧y≤z→x≤z;②x≤y∧y≤x→x=y；③x≤x；④x≤y∨y≤x。自然數(shù)集合及其上的順序關(guān)系就是全序理論的一個(gè)模型。

群論的形式系統(tǒng)中只有兩個(gè)非邏輯符號(hào)：個(gè)體符號(hào)1及二元函數(shù)符號(hào)·。它的非邏輯公理為：① x·（y·z)=(x·y）·z；②x·1=x；1·x=x；③y(x·y=1∧y·x=1）。任何一個(gè)群都是它的模型。

數(shù)論的形式系統(tǒng)中的非邏輯符號(hào)有：個(gè)體符號(hào)0，一元函數(shù)符號(hào)s及兩個(gè)二元函數(shù)符號(hào)+及·。數(shù)論（或皮亞諾算術(shù)）的公理為：①塡s(x)=0，②s(x)=s(y）→x =y，③x+0=x，④ x+s(x)=s(x+y），⑤ x·0=0，⑥x·s(y)=（x·y）+x，⑦若A為系統(tǒng)內(nèi)的公式，x0在A中自由出現(xiàn)，則對(duì)每個(gè)這樣的公式A，有公理自然數(shù)的算術(shù)就是它的一個(gè)模型。

陳述在一階語(yǔ)言中，由邏輯公理、非邏輯公理及推理規(guī)則推出的全部形式定理（見(jiàn)邏輯演算）稱為一階理論，記為T(mén)。為區(qū)別不同的一階理論T，只要指出T的語(yǔ)言中的非邏輯符號(hào)及非邏輯公理就夠了。任何一階理論都包含了謂詞演算作為它的子系統(tǒng)。

在謂詞演算的任意模型中均為真的公式稱為永真的或有效的公式。例如，公式A(x,y）∨塡A(x,y）就是有效的公式，而x≤y∨y≤x就不是有效的。因?yàn)樵谌蚪Y(jié)構(gòu)中，對(duì)x，y在個(gè)體域中的任意取值，該公式的解釋均為真。而在半序結(jié)構(gòu)中，例如該結(jié)構(gòu)的論域?yàn)橐粋€(gè)集合的全體子集的集合，≤解釋為集合的包含關(guān)系，那么上式的解釋當(dāng)x，y取任意的兩個(gè)子集時(shí)就不都是真的了。

直觀上看，邏輯的定理應(yīng)當(dāng)是在一切可能的世界中均為真的定理。在一定意義下，謂詞演算滿足這個(gè)性質(zhì)。可以驗(yàn)證，謂詞演算的公理均為有效的，它的推理規(guī)則的假設(shè)有效則結(jié)論也必有效。因此，謂詞演算的所有定理都是有效的。這個(gè)性質(zhì)稱為謂詞演算的有效性或可靠性。反之，任意有效的公式必為謂詞演算的定理。這就是著名的哥德?tīng)柾陚湫远ɡ?。由K.哥德?tīng)栍?930年證明。用├A表示A是謂詞演算的形式定理，即A 是系統(tǒng)內(nèi)的定理。而可靠性與完備性刻畫(huà)了整個(gè)形式系統(tǒng)的性質(zhì)，是關(guān)于系統(tǒng)的定理，也稱為元定理。形式系統(tǒng)的性質(zhì)是數(shù)理邏輯主要的研究對(duì)象之一。

由謂詞演算的有效性及完備性容易推知一階理論的可靠性與完備性。使一階理論 T的所有公理為真的結(jié)構(gòu)稱為T(mén) 的一個(gè)模型。若T的一個(gè)公式A在T 的任意模型中均有效，稱A在T中有效，記為T(mén)喺A。A是T的定理記為T(mén)├A。那么T的可靠性與完備性就可以陳述為T(mén)├ A的充分必要條件為T(mén) 喺A。

若不存在A使得T├A且├塡 A，則稱T是協(xié)調(diào)的。

若T 是協(xié)調(diào)的，則T 必有模型（廣義完備性定理）。

形如x1，x2，…，xnB 的公式稱為前束型公式，其中xi表示 xj或凬xj，B 是一個(gè)不含量詞的公式。任何一個(gè)一階理論T（當(dāng)T 的非邏輯公理集為空集時(shí)就是一個(gè)謂詞演算）的公式A，都有一個(gè)公式A′，使得T├A凮A┡，其中A┡為前束型公式x1,x2，…，xηB，且B中的非邏輯符號(hào)均在A中出現(xiàn)。A′也稱為A的前束范式。此性質(zhì)可用于對(duì)謂詞演算或一階理論的公式進(jìn)行分類上。此時(shí)只需考慮前束范式中的量詞，將它作為公式復(fù)雜性的一種測(cè)度。

一階必要條件（一階必要條件是什么意思）

二、一階導(dǎo)數(shù)等于零一定就是極值嗎?不是如何判斷?

1、一階導(dǎo)數(shù)為0時(shí),可能是極值點(diǎn),可能不是.

在極值點(diǎn),一階導(dǎo)數(shù)一定為0,但是一階導(dǎo)數(shù)為0,可能是一條平行于x軸的直線,

根本沒(méi)有極大極小的問(wèn)題,所以一階導(dǎo)數(shù)為0是極指點(diǎn)的必要條件,而非充分條件.

2、如果是極值點(diǎn),不是上凹,就是下凹.

如果是上凹(concave up),在極值點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)一定大于零,為極小值點(diǎn)；

如果是下凹(concave down),在極值點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)一定小于零,為極大值點(diǎn).

可惜的是,國(guó)內(nèi)的很多教師,很多教科書(shū),都在嚴(yán)重誤導(dǎo)學(xué)生,看看樓上的解答,也可見(jiàn)

一斑,居然要學(xué)生畫(huà)表格討論,不教二階導(dǎo)數(shù)的用途,到了高年級(jí)時(shí),學(xué)二元函數(shù)微積分

時(shí)居然還是這樣,不求二階偏導(dǎo),就亂下結(jié)論,居然美化為根據(jù)具體情況判斷就行.嚴(yán)重

的誤導(dǎo),使得很多學(xué)生進(jìn)入歧途.

三、二階導(dǎo)數(shù)恒正，則一階導(dǎo)數(shù)一定遞增。這句話是對(duì)的嗎？如果正確，是必要條件還是充分條件？

這是充分不必要條件，一階倒數(shù)是變化率，而二階是變化率的變化速度。你可以想象速度和加速度，當(dāng)加速度和方向不同時(shí)候，速度有時(shí)候還是負(fù)值喔～

四、想問(wèn)一下這兩道題怎么做啊，謝謝啦

你好，給你介紹點(diǎn)方法，自己試著做做吧！

定義介紹

設(shè)給定二元函數(shù)z=ƒ(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=ƒ(x,y)在附加條件下的極值點(diǎn)，先做拉格朗日函數(shù)

，其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即

L'x(x,y)=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，

L'y(x,y)=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，

φ(x,y)=0

由上述方程組解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函數(shù)z=ƒ(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)。

求極值

求函數(shù)f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下的極值

方法（步驟）是：

1.做拉格朗日函數(shù)L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ稱拉格朗日乘數(shù)

2.求L分別對(duì)x,y,z,λ求偏導(dǎo),得方程組,求出駐點(diǎn)P(x,y,z)

如果這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的最大或最小值存在,一般說(shuō)來(lái)駐點(diǎn)唯一,于是最值可求.

條件極值問(wèn)題也可以化為無(wú)條件極值求解,但有些條件關(guān)系比較復(fù)雜,代換和運(yùn)算很繁,而相對(duì)來(lái)說(shuō),“拉格朗日乘數(shù)法”不需代換,運(yùn)算簡(jiǎn)單一點(diǎn).這就是優(yōu)勢(shì).

條件φ(x,y,z)一定是個(gè)等式，不妨設(shè)為φ(x,y,z)=m

則再建一個(gè)函數(shù)g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m

g(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)

在許多極值問(wèn)題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為 V的長(zhǎng)方體形開(kāi)口水箱，確定長(zhǎng)、寬和高, 使水箱的表面積最小. 設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為 x,y,z，則水箱容積V=xyz

焊制水箱用去的鋼板面積為 S=2xz+2yz+xy

這實(shí)際上是求函數(shù) S 在 V 限制下的最小值問(wèn)題。

這類附有條件限制的極值問(wèn)題稱為條件極值問(wèn)題，其一般形式是在條件

限制下，求函數(shù)F的極值

條件極值與無(wú)條件極值的區(qū)別

條件極值是限制在一個(gè)子流形上的極值，條件極值存在時(shí)無(wú)條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。

例如，求馬鞍面 z=x.^2-y.^2+1 被平面XOZ 平面所截的曲線上的最低點(diǎn)。

從其幾何圖形可以看出整個(gè)馬鞍面沒(méi)有極值點(diǎn)，但限制在馬鞍面被平面平面所截的曲線上，有極小值 1，這個(gè)極小值就稱為條件極值。

必要條件

設(shè)在約束條件之下求函數(shù)的極值。滿足約束條件的點(diǎn) 是函數(shù)的條件極值點(diǎn), 且在該點(diǎn)函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時(shí), 由方程定隱函數(shù) , 于是點(diǎn)就是一元函數(shù)的極限點(diǎn), 有

代入 , 就有

( 以下均表示相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) 的值 . )

Lagrange乘數(shù)法 :

由上述討論可見(jiàn) , 函數(shù) 在約束條件之下的條件極值點(diǎn)應(yīng)是方程組

的解.

引進(jìn)所謂Lagrange函數(shù)

( 稱其中的實(shí)數(shù) 為L(zhǎng)agrange乘數(shù) )

則上述方程組即為方程組

因此，解決條件極值通常有兩種方法

1）直接的方法是從方程組（1）中解出并將其表示為代入消去成為變量為的函數(shù)將問(wèn)題化為函數(shù)無(wú)條件極值問(wèn)題；

2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出來(lái)是困難的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘數(shù)法，是免去解方程組（1）的困難，將求的條件極值問(wèn)題化為求下面拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)問(wèn)題，然后根據(jù)所討論的實(shí)際問(wèn)題的特性判斷出哪些穩(wěn)定點(diǎn)是所求的極值的。

3）在給定的條件下，若是可以將未知數(shù)代換或是解出，則可以將條件極值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值，從而避免引入拉格朗日乘數(shù)的麻煩。

注意：▽?duì)?x,y,z)=0 且 φ(x,y,z)=0的點(diǎn)不會(huì)被該方法計(jì)算到，因此，若求最大值或最小值時(shí)，應(yīng)把這些點(diǎn)列出來(lái)并單獨(dú)計(jì)算。

2解題思路

我們知道, 對(duì)于"限制條件為等式,x值均為正值"的最大化問(wèn)題, 滿足最大化的x組合一定滿足:F(i)(x*)-Σλj Gj(i)(x*)=0, i=1,2,3,.....n, j=1,2,...m. 從這里我們看到,如果限制條件 Gj(x*)=cj 中的 cj 變化 dcj , 如果全部作用于x(i),那么引起的dx(i)=dcj/Gj(i)(x*),從而導(dǎo)致目標(biāo)方程取值變化dF=F(i)(x*)dcj/Gj(i)(x*)=λj*dcj [注意:對(duì)于同一個(gè)限制條件j,我們由上一節(jié)已經(jīng)知道必然有: F(i)(x*)/Gj(i)(x*)=F(i')(x*)/Gj(i')(x*)=λj (i不等于i')]. 那么我們得到:λj=dF/dcj.也就是說(shuō),拉格朗日乘數(shù)其實(shí)代表的是cj對(duì)最大化目標(biāo)函數(shù)F的邊際影響. 雖然這里考慮的是僅僅cj發(fā)生變化,我們可以對(duì)此加以推廣,比如整體的c向量發(fā)生變化到 c+dc, dc是一個(gè)m-維向量, 那么F的總變化量dF就是Σλj dCj, j=1,2,...m.

舉一個(gè)具體的實(shí)例: 假如一個(gè)計(jì)劃經(jīng)濟(jì)體系下,政府實(shí)施如前所述的最大化問(wèn)題(在有限資源如勞動(dòng)力,自然礦產(chǎn),人力資本等的限制下使社會(huì)整體效用/福利最大化),并已經(jīng)找到了滿足最大化條件的x組合. 假設(shè)萬(wàn)能的上帝允許該國(guó)的勞動(dòng)力資源可以額外增加dc1, 那么根據(jù)拉格朗日乘數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義我們知道給整個(gè)社會(huì)帶來(lái)的福利將是λ1*dc1. 但是上帝說(shuō):要獲得這個(gè)額外的勞動(dòng)力資源,你們必須以一定數(shù)量的其他資源比如土地來(lái)跟我交換,以示公平.那么我們?nèi)祟愓撃枚嗌偻恋貋?lái)跟上帝換呢?指定該土地?cái)?shù)量為dx2,那么由此減少的社會(huì)福利是λ2*dc2. 如果λ1*dc1>λ2*dc2,上帝不會(huì)答應(yīng),如果反之我們不會(huì)答應(yīng).所以必然有λ1*dc1=λ2*dc2,也就是dc2=(λ1/λ2)dc1. 學(xué)過(guò)初級(jí)微觀的朋友馬上可以看出,這跟微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中相對(duì)價(jià)格的概念十分相似.相對(duì)價(jià)格反映物與物之間的交換價(jià)值,即人們?cè)敢庠趺礃舆M(jìn)行物與物的交換.不同的是,這里的價(jià)格不是以錢(qián)來(lái)計(jì)算,而是以社會(huì)福利來(lái)衡量;這里的相對(duì)價(jià)格λ1/λ2中的λ1和λ2是基于解決社會(huì)福利最大化問(wèn)題而計(jì)算出來(lái)的,不同于市場(chǎng)中的價(jià)格P1,P2. 由于這個(gè)原因,我們把λ叫做"影子價(jià)格"(shadow price). 如果我們偶爾發(fā)現(xiàn)某個(gè)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下市場(chǎng)價(jià)格之比恰恰等于影子價(jià)格之比,我們稱這個(gè)市場(chǎng)被一雙看不見(jiàn)的手所指引,因?yàn)樵撌袌?chǎng)居然可以自發(fā)調(diào)整解決社會(huì)福利的最大化問(wèn)題.

再來(lái)考慮"限制條件為非等式"的情況. 我們知道市場(chǎng)價(jià)格通常都不可能為零或負(fù)數(shù).但是影子價(jià)格確不同,它描述的是限制方程右方cj對(duì)整體目標(biāo)函數(shù)值的邊際影響.在限制條件Gj為非等式的情況下,增加額外的cj不一定就意味著目標(biāo)函數(shù)值的增加.比如, 限制條件為"社會(huì)某消費(fèi)產(chǎn)品不得高于cj",目標(biāo)函數(shù)為投資量.如果cj提高,那么消費(fèi)該產(chǎn)品增加,導(dǎo)致投資量減少,目標(biāo)函數(shù)值減少.這時(shí)影子價(jià)格就是一個(gè)負(fù)值.再比如,目標(biāo)函數(shù)為產(chǎn)量,限制條件為"同時(shí)參加勞動(dòng)的工人數(shù)量不得高于cj".如果cj增加,那么同時(shí)勞動(dòng)的工人數(shù)量增加,可能導(dǎo)致勞動(dòng)力邊際產(chǎn)量遞減效應(yīng)的發(fā)生,這時(shí)總產(chǎn)量可能不增反降.這時(shí)我們情愿不增加工人;換句話說(shuō),我們情愿把一些資源放在一旁不予利用(free dsiposal).這時(shí)候再增加這些勞動(dòng)力資源,對(duì)總產(chǎn)量已經(jīng)沒(méi)有作用了,所以影子價(jià)格為零. 事實(shí)上,根據(jù)前一節(jié)所述的庫(kù)恩-塔克定理,這一點(diǎn)是很明顯的.庫(kù)恩-塔克定理說(shuō),滿足最大化問(wèn)題解的x一定使得下面的條件滿足:

Lλ(x, λ)>=0, λ>=0, 互補(bǔ)松散

就是說(shuō),如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)>0, 那么說(shuō)明有資源余缺閑置,這時(shí)λ=0.如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)=0,那么說(shuō)明資源全部被使用,其邊際效用λ>0.

注意:這里我們通過(guò)對(duì)拉格朗日乘數(shù)的解釋考查了cj的微小變動(dòng)dcj對(duì)目標(biāo)函數(shù)最大值的變化的影響,這就是開(kāi)篇所說(shuō)的比較靜態(tài)研究--研究參數(shù)θ的變化對(duì)最大值的影響.所以我們?cè)谶M(jìn)行比較靜態(tài)研究的時(shí)候必須把目標(biāo)函數(shù)看成是同時(shí)關(guān)于x和參數(shù)θ的函數(shù). 基于這一點(diǎn),我們從另一個(gè)角度來(lái)看λ的確定. 考察參數(shù)cj,如果cj變化一點(diǎn)點(diǎn)到cj+dcj,那么相應(yīng)地最佳組合x(chóng)*變動(dòng)到x*+dx*,最大目標(biāo)值也由F(x*)變化為F(x*+dx*).由泰勒一階展開(kāi)我們得到: dF=F(x*+dx*)-F(x*)=Fx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj.根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法一階必要條件,我們有:Fx(x*)=λj Gx(x*),所以dF=λj Gx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj=λj Gx(x*)dx*,我們又知道根據(jù)限制條件方程G(x*)=cj,在cj變化到cj+dcj的過(guò)程中,Gx(x*)dx*=dcj,所以dF=λj dcj.同樣推導(dǎo)出了λ的定義式. 更一般地,如果F和G都是關(guān)于x和參數(shù)θ的函數(shù),如果參數(shù)θ變動(dòng)到θ+dθ,x隨之變動(dòng)到x+dx,那么:

dF=F(x+dx,θ+dθ)-F(x,θ)=Fx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ=λGx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ...(1)

由于G是關(guān)于x和θ的函數(shù)G(x,θ)=c,所以在θ變化的過(guò)程中始終有

Gx(x,θ)dx+Gθ(x,θ)dθ=dc...................................................(2)

代入(1)式,我們得到:

dF=λdc -λGθ(x,θ)dθ+Fθ(x,θ)dθ=Lθ(x,λ,θ)dθ+λdc....................(3)

這就是最一般化的比較靜態(tài)公式.我們?cè)谘芯坑白觾r(jià)格λ的時(shí)候,沒(méi)有考慮任何參數(shù)θ的變化,所以公式(3)的第一項(xiàng)為零,這樣dF=λdc.反之,我們?cè)谀承┣闆r下不考慮c的變化,而側(cè)重于參數(shù)θ的變化,這時(shí)公式(3)變化為: dF=Lθ(x,λ,θ)dθ.如果只有函數(shù)F跟θ有關(guān),而G跟θ無(wú)關(guān),那么公式(3)簡(jiǎn)化為dF=Fθ(x,θ)dθ. 注意:1. 在參數(shù)θ變化的過(guò)程中,θ-->θ+dθ,x-->x+dx,但是對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響卻只要考慮拉格朗日函數(shù)對(duì)θ的偏微分,而且該偏微分在原來(lái)最優(yōu)點(diǎn)x處取值.這是我們用泰勒一階展開(kāi)應(yīng)該得到的結(jié)論. 2.這里的x雖然沒(méi)有標(biāo)上星號(hào)*,但不言自明的是它們都應(yīng)該是最優(yōu)組合,而且它們也都是關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)x(θ). 如果我們把最大化了的F定義成一個(gè)新函數(shù)最優(yōu)目標(biāo)方程V(θ),那么由剛剛推導(dǎo)出來(lái)的公式(3): dF=Fθ(x,θ)dθ 我們有 Vθ(θ)=Fθ(x(θ),θ). 再次提醒注意,這里的x(θ)是滿足最大化條件的最優(yōu)點(diǎn).如果我們?cè)俣x一個(gè)普通目標(biāo)函數(shù)F(x',θ),但是這里的x'是任意值,不一定是最優(yōu)點(diǎn)x(θ).假設(shè)對(duì)應(yīng)這個(gè)x'的能使 F 函數(shù)值最大的θ是θ'.那么V(θ)在θ'點(diǎn)處的斜率為:Vθ(θ')=Fθ(x(θ'),θ'). 但我們知道,x(θ')=x'.所以Fθ(x(θ'),θ')=Fθ(x',θ').而后者就是函數(shù)F(x',θ)在點(diǎn)θ'的斜率.這就是說(shuō),函數(shù)V(θ)和函數(shù)F(x',θ)在點(diǎn)(x',θ')處的斜率相等. 這個(gè)結(jié)論對(duì)于x'取任意一個(gè)固定值都是成立的,所以從幾何圖形上來(lái)看,見(jiàn)圖示,最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)V(θ)把普通目標(biāo)函數(shù)曲線族緊緊包圍住.因此,dF=Fθ(x,θ)dθ 往往又稱為"包絡(luò)定理"(envelope theorem). 微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)里面的短期成本和長(zhǎng)期成本之間的關(guān)系就是符合信封定理的,因?yàn)檫@里的成本都是滿足了成本最小化之后的成本。

均衡原則

微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)研究消費(fèi)者行為時(shí)，所要闡述的核心問(wèn)題是消費(fèi)者均衡的原則。所謂消費(fèi)者均衡指的是一個(gè)有理性的消費(fèi)者所采取的均衡購(gòu)買(mǎi)行為。進(jìn)一步說(shuō)，它是指保證消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的均衡購(gòu)買(mǎi)行為。

但人的需要或欲望是無(wú)限的，而滿足需要的手段是有限的。所以微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)所說(shuō)的效用最大化只能是一種有限制的效用最大化。而這種限制的因素就是各種商品的價(jià)格和消費(fèi)者的貨幣收入水平。

首先，我們先引入一些名詞解釋:

總效用(TU):消費(fèi)者在一定時(shí)間內(nèi)消費(fèi)一定數(shù)量某種商品或商品組合所得到的總的滿足。

邊際效用(MU):消費(fèi)者在所有其它商品的消費(fèi)水平保持不變時(shí)，增加消費(fèi)一單位某種商品所帶來(lái)的滿足程度的增加，也就是說(shuō)指增加一單位某種商品所引起的總效用的增加。

商品數(shù)量(Q)，商品價(jià)格(P), 收入(I)

邊際效用的公式表達(dá)為:MU=∂TU/∂Q

那么如何才能實(shí)現(xiàn)在制約條件下效用最大化的商品組合呢？

就是當(dāng)消費(fèi)者把全部收入用于購(gòu)買(mǎi)各種商品時(shí)，他從所購(gòu)買(mǎi)的每一種商品所得到的邊際效用與其價(jià)格的比例都相同，這樣的商品組合就是最佳的或均衡的商品組合。

假設(shè)當(dāng)消費(fèi)者選擇兩種商品x,y時(shí)，消費(fèi)者均衡原則的公式表達(dá)為:

MUx/Px = MUy/Py("/"為分?jǐn)?shù)線）

制約條件的公式表達(dá)式為:I=Px∙Qx+Py∙Qy。那么這一結(jié)論是如何推導(dǎo)出來(lái)的呢？解決這一問(wèn)題最直接的方法就是拉格朗日乘數(shù)法。

上面說(shuō)到：在利用偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的極值時(shí)，若函數(shù)的自變量有附加條件，則稱之為條件極值。這時(shí)，可用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。具體方法如下:

設(shè)給定二元函數(shù)z=ƒ(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=ƒ(x,y)在附加條件下的極值點(diǎn)，先做拉格朗日函數(shù)L(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)，其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即

L'x(x,y)=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，

L'y(x,y)=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，

φ(x,y)=0

套用到微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)里面：設(shè)效用函數(shù)U(Qx,Qy),為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx,Qy)+λ( I-Px∙Qx-Py∙Qy)，λ為參數(shù)。求L(x,y)對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件連立。

即

∂L/∂Qx=∂U/∂Qx-λPx=0 ⑴

∂L/∂Qy=∂U/∂Qy-λPy=0 ⑵

I-Px∙Qx-Py∙Qy=0 ⑶

將方程⑴除以方程⑵，得:

∂U/∂Qx ‗ Px 即 MUx ‗ MUy

∂U/∂Qy Py PX Py

所以，消費(fèi)者要實(shí)現(xiàn)兩種商品的效用最大化，邊際效用的比率應(yīng)該等于價(jià)格比率。

以上是關(guān)于x和y兩種商品所說(shuō)的，是否同樣適用于多種商品呢？答案是肯定的。如果消費(fèi)者在n種商品中做出選擇，則消費(fèi)者均衡的原則可表達(dá)為:

MU1 ‗ MU2 ‗ MU3 ‗ … ‗ MUn

P1 P2 P3 Pn

這一結(jié)論同樣可用拉格朗日乘數(shù)法證明。