分形幾何與景觀設(shè)計(jì)（分形幾何與景觀設(shè)計(jì)的區(qū)別）

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來(lái)大家介紹下關(guān)于分形幾何與景觀設(shè)計(jì)的問(wèn)題，以下是小編對(duì)此問(wèn)題的歸納整理，讓我們一起來(lái)看看吧。

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本文目錄:

• 1、分形的概況

• 2、48思維模型：分形理論一非線性科學(xué)三大理論前沿之一

• 3、虎跳峽龍?bào)从野锻潦旌象w粒度分形特征研究

• 4、who knows Fractal,Chaos,and Soliton?

一、分形的概況

芒德布羅曾經(jīng)為分形下過(guò)兩個(gè)定義：

（1）滿足下式條件

Dim(A)>dim(A)

的集合A，稱為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數(shù)（或分維數(shù)），dim(A)為其拓?fù)渚S數(shù)。一般說(shuō)來(lái)，Dim(A)不是整數(shù)，而是分?jǐn)?shù)。

（2）部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。

然而，經(jīng)過(guò)理論和應(yīng)用的檢驗(yàn)，人們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)定義很難包括分形如此豐富的內(nèi)容。實(shí)際上，對(duì)于什么是分形，到目前為止還不能給出一個(gè)確切的定義，正如生物學(xué)中對(duì)“生命”也沒(méi)有嚴(yán)格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來(lái)加以說(shuō)明。對(duì)分形的定義也可同樣的處理。

分形一般有以下特質(zhì)：

在任意小的尺度上都能有精細(xì)的結(jié)構(gòu)； 太不規(guī)則，以至難以用傳統(tǒng)歐氏幾何的語(yǔ)言描述； （至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫維數(shù)會(huì)大於拓?fù)渚S數(shù)（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）； 有著簡(jiǎn)單的遞歸定義。

（i）分形集都具有任意小尺度下的比例細(xì)節(jié)，或者說(shuō)它具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)。

（ii）分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述，它既不是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡，也不是某些簡(jiǎn)單方程的解集。

（iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統(tǒng)計(jì)的自相似。

（iv）一般，分形集的“分形維數(shù)”，嚴(yán)格大于它相應(yīng)的拓?fù)渚S數(shù)。

（v）在大多數(shù)令人感興趣的情形下，分形集由非常簡(jiǎn)單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生。 上世紀(jì)80年代初開始的“分形熱”經(jīng)久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領(lǐng)域開展應(yīng)用探索。美國(guó)物理學(xué)大師約翰·惠勒說(shuō)過(guò)：今后誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被稱為科學(xué)上的文化人。由此可見分形的重要性。

中國(guó)著名學(xué)者周海中教授認(rèn)為：分形幾何不僅展示了數(shù)學(xué)之美，也揭示了世界的本質(zhì)，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說(shuō)分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)，對(duì)它的研究也極大地拓展了人類的認(rèn)知疆域。

分形幾何學(xué)作為當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科，它的出現(xiàn)，使人們重新審視這個(gè)世界：世界是非線性的，分形無(wú)處不在。分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義。

二、48思維模型：分形理論一非線性科學(xué)三大理論前沿之一

我們上學(xué)的時(shí)候都學(xué)過(guò)，我國(guó)的海岸線全長(zhǎng)一萬(wàn)八千余公里(北起鴨綠江口,南止北倉(cāng)河口)。這個(gè)長(zhǎng)度是以1公里長(zhǎng)的標(biāo)尺測(cè)量得到的。然而如果我們采用短些的標(biāo)尺,例如1 厘米長(zhǎng)的標(biāo)尺,則測(cè)得海岸線長(zhǎng)度為381.2萬(wàn)公里,這是地理書上給出長(zhǎng)度的212倍。為什么呢？

原因是由于港灣海角的存在,海岸線是相當(dāng)?shù)那?用大的標(biāo)尺去測(cè)量會(huì)忽略掉其很多的彎曲的細(xì)節(jié)。海岸線的長(zhǎng)度與測(cè)量單位有關(guān)，以1km為 單位測(cè)量海岸線，就會(huì)將短于1km的遷回曲折長(zhǎng)度忽略掉;若以1m為單位測(cè)量，則能測(cè)出被忽略掉的遷回曲折，長(zhǎng)度將變大;若測(cè)量單位進(jìn)一步地變小，測(cè)得的長(zhǎng)度就會(huì)愈來(lái)愈大，這些愈來(lái)愈大的長(zhǎng)度將趨近于一一個(gè)確定值，這就是海岸線的長(zhǎng)度。

其實(shí)早在1967年Mandelbrot就提出“英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)?”的問(wèn)題

Mandelbrot發(fā)現(xiàn):當(dāng)測(cè)量單位變小時(shí)，所得的長(zhǎng)度是無(wú)限增大的。他認(rèn)為海岸線的長(zhǎng)度是不確定的，或者說(shuō)，在一定意義上海岸線是無(wú)限長(zhǎng)的。這就是因?yàn)楹０毒€是極不規(guī)則和極不光滑的。

在自然界中，幾乎沒(méi)有什么東西是平緩的，大多數(shù)事物都是有皺褶的、不規(guī)則的、細(xì)圓齒狀的，通常都以一種自相似的形式存在。想想森林、山脈、蔬菜、云和海洋表面。由此看來(lái)，大多數(shù)自然物體都沒(méi)有絕對(duì)的客觀長(zhǎng)度，在陳述測(cè)量結(jié)果時(shí)，很重要的一點(diǎn)是分辨率是多少。

人類在設(shè)計(jì)和制造人類工程學(xué)產(chǎn)品時(shí)，無(wú)論是原始的罐子和工具，還是現(xiàn)代化的復(fù)雜汽車、計(jì)算機(jī)和摩天大樓。我們都使用并且追求直線、平滑曲線和平滑表面的簡(jiǎn)單性。量化測(cè)量的發(fā)展及數(shù)學(xué)的發(fā)明，尤其是歐幾里得幾何的理想化范式，完美地展現(xiàn)了這一點(diǎn)。

在這個(gè)人工制品的新世界中，我們不可避免地習(xí)慣于通過(guò)蒙蔽我們的歐幾里得幾何(直線、平滑曲線和平滑表面)的濾鏡觀察世界。但是，自然界大多數(shù)的圖形都是十分復(fù)雜而且不規(guī)則的。例如：海岸線、山形、河川、巖石、樹木、森林、云團(tuán)、閃電、海浪等等，用歐幾里德幾何學(xué)是無(wú)能為力的。

復(fù)雜科學(xué)認(rèn)為，客觀世界是高度復(fù)雜的，而且被褶皺、波紋和小褶皺主導(dǎo)。正Mandelbrot簡(jiǎn)單明了地概述:“平緩的形狀在野外很少見，但在象牙塔和工廠中極為重要。”

所以科學(xué)家們認(rèn)為“世界在本質(zhì)上是非線性的”。在非線性世界里，隨機(jī)性和復(fù)雜性是其主要特征，但同時(shí)，在這些極其復(fù)雜的現(xiàn)象背后，存在著某種規(guī)律性。

產(chǎn)生于上世紀(jì)70年代的分形理論使人們能以新的觀念、新的手段來(lái)處理這些難題，透過(guò)撲朔迷離的無(wú)序的混亂現(xiàn)象和不規(guī)則的形態(tài)，揭示隱藏在復(fù)雜現(xiàn)象背后的規(guī)律、局部和整體之間的本質(zhì)聯(lián)系。

分形是一門新的學(xué)科，它的歷史很短，目前正處在發(fā)展之中，它涉及面廣但還不夠成熟，然而分形理論具有強(qiáng)大的生命力。世界上1257種學(xué)術(shù)刊物在80年代后期發(fā)表的論文中,與分形有關(guān)的占據(jù)37.5%。從發(fā)表論文來(lái)看，所涉及的領(lǐng)域包括哲學(xué)、物理、化學(xué)、材料化學(xué)、電子技術(shù)、表面科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)學(xué)、天文學(xué)、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)、地理學(xué)、城市規(guī)劃學(xué)、地震學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、歷史學(xué)、人口學(xué)、情報(bào)學(xué)、商品學(xué)、電影美學(xué)、思維、音樂(lè)、藝術(shù)等。

1 、分形的定義 ：部分以某種形式與整體相似的形狀叫分形。（Mandelbrot）

所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的狀態(tài)，是沒(méi)有特征長(zhǎng)度的圖形和構(gòu)造以及現(xiàn)象的總稱。描述分形的幾何，稱為分形幾何。 分形幾何也是目前最前沿的學(xué)科。

我們知道，經(jīng)典幾何研究規(guī)則圖形，平面解析幾何研究一次和二次曲線，微分幾何研究光滑的曲線和曲面，分形幾何是研究自然界大量存在的不規(guī)則形體。

偉大的數(shù)學(xué)家美籍華人陳省身認(rèn)為幾何學(xué)可分為以下階段:

第一階段：公理(歐幾里德) ;

第二階段：坐標(biāo)(笛卡爾、費(fèi)馬) ;

第三階段：微積分(牛頓  菜布尼茲) ;

第四階段：群(克萊因、李)

第五階段：流形(黎曼) ;

第六階段：纖維叢(嘉當(dāng)、惠特尼)。

第七階段：分形幾何(曼德勃羅特)

所以分形幾何是二十一世紀(jì)的幾何。

2 、分形的提出者：Mandelbrot

分形這個(gè)名詞是由曼德勃羅特在1975年首次提出（創(chuàng)造）的，其原義是“不規(guī)則的，分?jǐn)?shù)的，支離破碎的”物體。曼德勃羅特是美國(guó)IBM公司沃特森研究中心自然科學(xué)部高級(jí)研究員，哈佛大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)兼職教授，美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士。曾先后在哈佛大學(xué)教過(guò)經(jīng)濟(jì)學(xué)，在耶魯大學(xué)教過(guò)工程學(xué)，在愛因斯坦醫(yī)學(xué)院教過(guò)生理學(xué)。研究領(lǐng)域橫跨數(shù)學(xué)、物理學(xué)、地學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)、計(jì)算機(jī)、天文學(xué)、情報(bào)學(xué)、信息與通訊、城市與人口、哲學(xué)與藝術(shù)等眾多學(xué)科與專業(yè)，是一位真正的跨學(xué)科的博學(xué)家。正是這些不同學(xué)科或問(wèn)題的雜交，才結(jié)出一個(gè)完全新穎的果實(shí)一一分形理論。他出版的專著《自然界的分形幾何學(xué)》，代表著分形理論初步形成。

1 、自相似性

 分形具有“粗糙和自相似”的直觀特點(diǎn)。一個(gè)系統(tǒng)的自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過(guò)程的特征從不同的空間尺度或時(shí)間尺度來(lái)看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會(huì)存在自相似性。一般情況下自相似性有比較復(fù)雜的表現(xiàn)形式，而不是局域放大一定倍數(shù)以后簡(jiǎn)單地和整體完全重合。例如菜花、樹葉等。

人們?cè)谟^察和研究自然界的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)到自相似性可以存在于物理、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、材料科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)，以及社會(huì)科學(xué)等眾多的科學(xué)之中，是自然界普遍的規(guī)律之一。下面舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明自相似性。

太陽(yáng)系的構(gòu)造與原子的結(jié)構(gòu)作一對(duì)比，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)系統(tǒng)在某些方面具有驚人的相似。雖然這兩個(gè)系統(tǒng)在自然界中尺度相差如此懸殊，但它們物質(zhì)系統(tǒng)之間存在著自相似的性質(zhì)。

物質(zhì)系統(tǒng)之間的自相似性在生物界也廣泛地存在著。以人為例，人是由類人猿進(jìn)化到一定程度的產(chǎn)物，解剖學(xué)研究表明，人體中的大腦、神經(jīng)系統(tǒng)、血管、呼吸系統(tǒng)、消化系統(tǒng)等在結(jié)構(gòu)上都具有高度的自相似性。

一棵大樹由許多樹枝和樹葉組成，若把一根樹枝與該棵大樹相比，在構(gòu)成形式上完全相似。又會(huì)發(fā)現(xiàn)該樹枝上分叉長(zhǎng)出來(lái)的更小的細(xì)枝條，仍具有大樹構(gòu)成的特點(diǎn)。當(dāng)然，這只能是在一定尺度上呈現(xiàn)相似性，不會(huì)無(wú)限擴(kuò)展下去。另外，樹枝與樹枝之間，樹葉與樹葉之間，也呈現(xiàn)出明顯的自相似性。再仔細(xì)觀察樹葉的葉脈，也可以發(fā)現(xiàn)類似的自相似結(jié)構(gòu)。

佛說(shuō)：一沙一世界，一花一天堂；袖里有乾坤，壺中有日月； 在每一?；覊m中都呈現(xiàn)出無(wú)數(shù)的佛。《易經(jīng)》認(rèn)為:“無(wú)極生兩儀，倆儀生四象，四象生八卦?！兜赖陆?jīng)》認(rèn)為：道生一、一生二、二生三、三生萬(wàn)物、以今天分形幾何的觀點(diǎn)來(lái)看，古人的思想里包含有自相似概念。

2 、標(biāo)度不變性

所謂標(biāo)度不變性，是指在分形上任選一局部區(qū)域，對(duì)它進(jìn)行放大，這時(shí)得到的放大圖形又會(huì)顯示出原圖的形態(tài)特性。因此,對(duì)于分形，不論將其放大或縮小，它的形態(tài)、復(fù)雜程度、不規(guī)則性等各種特點(diǎn)均不會(huì)變化。所以標(biāo)度不變性又稱為伸縮對(duì)稱性。通俗一點(diǎn)說(shuō)，如果用放大鏡來(lái)觀察一個(gè)分形，不管放大倍數(shù)如何變化，看到的情形是一樣的，從觀察到的圖象，無(wú)法判斷所用放大鏡的倍數(shù)。  

自相似性與標(biāo)度不變性是密切相關(guān)的。自相似性和標(biāo)度不變性是分形的兩個(gè)重要特性。

分形理論是一個(gè)交叉性的橫斷學(xué)科，從振動(dòng)力學(xué)到流體力學(xué)、天文學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，從分子生物學(xué)到生理學(xué)、生物形態(tài)學(xué)，從材料科學(xué)到地球科學(xué)、地理科學(xué)，從經(jīng)濟(jì)學(xué)到語(yǔ)言學(xué)、社會(huì)學(xué)等等，無(wú)不閃現(xiàn)著分形的身影。

美國(guó)著名物理學(xué)家惠勒說(shuō)過(guò)：今后誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能稱為科學(xué)的文化人。說(shuō)明了分形理論的巨大科學(xué)價(jià)值。下面從哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)等幾個(gè)維度闡述一下分形理論的應(yīng)用。

1 、哲學(xué)

（1）整體與部分

分形理論打破了整體與部分之間的隔膜，找到了部分過(guò)渡到整體的媒介和橋梁即整體與部分之間的相似。從認(rèn)識(shí)事物的途徑或思考問(wèn)題的方法來(lái)看，分形論與系統(tǒng)論分別體現(xiàn)了從兩個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的思路。它們之間的互補(bǔ)，恰好完整地、全面地體現(xiàn)了辯證的思維方法。系統(tǒng)論由整體出發(fā)來(lái)確立各個(gè)部分的系統(tǒng)性質(zhì)，它沿著從宏觀到微觀的方向考察整體與部分之間的相關(guān)性。而分形論則由部分出發(fā)來(lái)確立整體的性質(zhì)，沿著微觀到宏觀的方向考察部分與整體之間的相似性。也就是說(shuō)，系統(tǒng)論強(qiáng)調(diào)了部分依賴于整體的性質(zhì)，體現(xiàn)了從整體出發(fā)認(rèn)識(shí)部分的方法，分形論強(qiáng)調(diào)了整體依賴于部分的性質(zhì)，體現(xiàn)了從部分出發(fā)認(rèn)識(shí)整體的方法。于是，兩者構(gòu)成的互補(bǔ)，即系統(tǒng)論和分形論相互輝映，極大地提高了人類對(duì)自然界認(rèn)識(shí)的能力。

分形論作為認(rèn)識(shí)世界的一新方法，不僅在于從整體與部分之間的信息“同構(gòu)”中，找到了從部分過(guò)渡到整體的媒介和橋梁，為人們從部分中認(rèn)識(shí)整體、從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限提供了可能和根據(jù)，而且分形論的提出使人們對(duì)整體與部分關(guān)系的認(rèn)識(shí)方法、思維方法由線性階梯進(jìn)展到非線性階梯，揭示了它們之間多層面、多視角、多維度的聯(lián)系方式。

（2）生成論和構(gòu)成論的自然觀

自然觀與自然科學(xué)的發(fā)展緊密聯(lián)系，任何關(guān)于自然界的科學(xué)理論，原則上都可以成為建立某種自然觀的根據(jù)，并形成一種研究綱領(lǐng)。例如，隨著物理學(xué)的發(fā)展出現(xiàn)過(guò)以牛頓力學(xué)為基礎(chǔ)的力學(xué)世界圖景、以熱力學(xué)為基礎(chǔ)的能學(xué)世界圖景、以電磁學(xué)為基礎(chǔ)的電磁世界圖景以及基本相互作用統(tǒng)一的物理世界圖景，隨著生物學(xué)的發(fā)展出現(xiàn)進(jìn)化世界圖景，隨著非平衡態(tài)熱力學(xué)的發(fā)展出現(xiàn)自組織世界圖像。分形幾何作為描述復(fù)雜自然形態(tài)及其生成機(jī)制的有力工具，又為人類建構(gòu)新的自然圖景提供了新的科學(xué)根據(jù)，形成一種新的自然圖景。

分形理論已經(jīng)對(duì)自然觀產(chǎn)生強(qiáng)烈影響，從分形的觀點(diǎn)看世界，我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)世界是以分形的方式存在和演化著的世界。

在人類探索宇宙的本原之始，就存在著事物是由本原生成的還是由本原構(gòu)成的爭(zhēng)論。生成論認(rèn)為事物是由本原生成的，它的變化是“產(chǎn)生”、“消亡”或“轉(zhuǎn)化”；構(gòu)成論認(rèn)為事物是由本原構(gòu)成的，它的變化是要素之間的結(jié)合或分離。構(gòu)成論思想產(chǎn)生于古代希臘的原子論，深深地影響著科學(xué)家的思維。構(gòu)成論認(rèn)為自然界的一切事物都?xì)w結(jié)為基本粒子的結(jié)合或分離。這種思考和分析問(wèn)題的方法推動(dòng)了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，取得一系列成果，諸如汽車、電視機(jī)、電腦等產(chǎn)品給人類的生活帶來(lái)了許多方便和舒適。但是，根據(jù)構(gòu)成論思想，把一個(gè)東西不斷分割下去，以便給出一切問(wèn)題的解答，遇到很大困難。所以科學(xué)家們開始轉(zhuǎn)向生成論。宇宙的演化、生物的進(jìn)化、思維的形成無(wú)不表現(xiàn)為一個(gè)生成的過(guò)程，這一切無(wú)不支持生成論，但因其缺乏理論支持，而未能被科學(xué)界普遍接受。分形生成過(guò)程的迭代性(或遞歸性)為生成論自然觀提供了理論根據(jù)，而且分形幾何已經(jīng)證明，任何復(fù)雜的事物形態(tài)原則上都可以通過(guò)迭代法生成。

2 、經(jīng)濟(jì)學(xué)

股票價(jià)格變動(dòng)圖因價(jià)格漲落得非常厲害，而且完全是隨機(jī)的，因此使人感到幾乎無(wú)規(guī)律可循。但若從統(tǒng)計(jì)學(xué)觀點(diǎn)解析這一變動(dòng)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有很好的規(guī)律。Mandelbrot發(fā)現(xiàn)下面兩個(gè)法則： 

⑴每個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的股票價(jià)格變動(dòng)分布，服從特性指數(shù)D≈1.7的對(duì)稱穩(wěn)定分布。

⑵單位時(shí)間不論取多大或多小，其分布也是相似的。也就是說(shuō)，適當(dāng)?shù)馗淖兂叨龋涂沙蔀橥瑯拥姆植肌?/p>

因此，我們可以從分形的角度去思考股票價(jià)格的波動(dòng)，雖然不能夠幫助我們預(yù)測(cè)未來(lái)，但為我們提供了一個(gè)分析維度。

3 、其他領(lǐng)域（音樂(lè)、藝術(shù)、圖形壓縮等）

著名的電影“星球大戰(zhàn)”就是利用分形技術(shù)創(chuàng)作的。由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科學(xué)家對(duì)其情有獨(dú)鐘，分形圖像壓縮被認(rèn)為最具前景的圖像壓縮技術(shù)之一，分形圖形學(xué)被認(rèn)為是描繪大自然景色最誘人的方法。

分形音樂(lè)是利用分形理論來(lái)建構(gòu)一些帶有自相似小段的合成音樂(lè)，由一個(gè)算法的多重迭代產(chǎn)生的，主題在帶有小調(diào)的三番五次的返復(fù)循環(huán)中重復(fù)，在節(jié)奏方面可以加上一些隨機(jī)變化，它所創(chuàng)造的效果，無(wú)論在宏觀上還是在微觀上都能逼真地模仿真正的音樂(lè)。

總結(jié)

分形理論是一門重要的新學(xué)科，它的歷史很短，但是卷入分形狂潮的除數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家外，還有化學(xué)家、生物學(xué)家、地貌學(xué)與地震學(xué)家、材料學(xué)家等，在社會(huì)科學(xué)與人文科學(xué)方面，大批哲學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、金融學(xué)家乃至作家畫家和電影制作家都蜂擁而入。分形理論正處于發(fā)展之中，它涉及面廣但還不夠成熟，對(duì)它爭(zhēng)論也不少，但是由于已被廣泛應(yīng)用到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的幾乎所有領(lǐng)域，所以成為當(dāng)今國(guó)際上許多學(xué)科的前沿研究課題之一。

參考文獻(xiàn)：

分形的哲學(xué)漫步——林夏水

分形理論的科學(xué)和哲學(xué)意義——張國(guó)祺

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三、虎跳峽龍?bào)从野锻潦旌象w粒度分形特征研究

徐文杰 胡瑞林

（中國(guó)科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所工程地質(zhì)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100029）

摘要 應(yīng)用分維理論對(duì)虎跳峽龍?bào)从野斗植嫉耐潦旌象w粒度分布的分維規(guī)律進(jìn)行了研究分析，建立了平均粒徑與相應(yīng)的分維數(shù)之間的定量關(guān)系模型。通過(guò)研究表明，土石混合體具有良好的統(tǒng)計(jì)自相似性，由于其本身為級(jí)配不良土，在分維曲線上表現(xiàn)為雙重分形分布，這種特殊的分維分布與土石混合體的成因及形成過(guò)程有關(guān)。

關(guān)鍵詞 土石混合體 分形 粒度分析 平均粒徑

土石混合體一般是由作為骨料的碎石或者塊石和作為充填成分的粘土或砂土組成的一種特殊的工程地質(zhì)體（圖1）。其成因一般較為復(fù)雜，主要有坡積成因、崩積成因、沖洪積成因、冰積成因及人工堆積等，具有物質(zhì)成分復(fù)雜、結(jié)構(gòu)分布極其不規(guī)則、具地域性等特性，力學(xué)性質(zhì)介于土與巖體之間。土石混合體是一種典型的粒狀體，其力學(xué)性質(zhì)和工程性狀與其結(jié)構(gòu)特性密切相關(guān)，土石混合體的結(jié)構(gòu)特性從某種程度上決定了其力學(xué)性質(zhì)和工程特性。但是由于土石混合體的成因決定了其結(jié)構(gòu)具有高度的非線性特征，這就給我們研究其結(jié)構(gòu)特征帶來(lái)了很大的困難。

圖1 虎跳峽龍?bào)从野锻潦旌象w

近年來(lái)，突變理論、混沌理論、分形幾何等與非線性復(fù)雜現(xiàn)象有關(guān)的新理論、新觀點(diǎn)、新方法已不同程度地滲入到巖土力學(xué)的研究領(lǐng)域。尤其是分形幾何（Fractal Geometry）理論自20世紀(jì)80年代形成以來(lái)，在巖土力學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，使得過(guò)去我們認(rèn)為難以解釋或難以描述的問(wèn)題的解決變成可能。80年代末，分形方法被引入到土的結(jié)構(gòu)研究中，國(guó)內(nèi)外的許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了較為深入的探討和研究，包括 E.Perfect^［1］，V.Rasiab^［2］，D.L.Turcotte^［3］，及國(guó)內(nèi)的劉松玉^［4］、胡瑞林^［5］、徐永福^［6］等。所有的這些理論和經(jīng)驗(yàn)，為我們?cè)谕潦旌象w的結(jié)構(gòu)研究方面開辟了一條新的途徑。

本文應(yīng)用分形幾何理論，對(duì)虎跳峽龍?bào)从野斗植嫉耐潦旌象w的粒度成分進(jìn)行了分維分析，取得了一些有益的結(jié)論。

1 土石混合體的基本粒度構(gòu)成

據(jù)勘查資料，龍?bào)从野侗韺油潦旌象w的分布厚度為5.0～40.0m不等，碎石粒徑1～5cm居多，其碎石骨料主要由砂巖組成，少量為板巖風(fēng)化碎屑，而且表面極其粗糙、菱角分明、形狀不規(guī)則（圖1）；填充料為粘土，含量甚少。研究區(qū)土石混合體的成因主要為坡積和冰積。

為了研究的需要，我們選定位于虎跳峽水電勘查工程龍?bào)?^#平硐附近的土石混合體作為本次試驗(yàn)研究的采樣場(chǎng)地，其高程約為1892.0m。在試驗(yàn)過(guò)程中，共選擇了7個(gè)取樣點(diǎn)，其位置分布位于龍?bào)从野蹲冃误w范圍之內(nèi)（圖2），各試驗(yàn)點(diǎn)的篩分取樣質(zhì)量見表1。對(duì)這些樣品我們進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)粒度篩分試樣，得到了各粒組的質(zhì)量百分含量（表2）。

圖2 粒度分析點(diǎn)布置示意圖

表1 各試驗(yàn)點(diǎn)的取樣質(zhì)量

表2 各試樣的粒度分形分析結(jié)果

注：表中r代表顆粒粒徑，所有顆粒粒徑單位均為cm。

2 土石混合體粒度分維計(jì)算模型

分形幾何是一門新的數(shù)學(xué)分支，它主要是用來(lái)描述自然界的不規(guī)則以及雜亂無(wú)章的現(xiàn)象和行為。目前應(yīng)用較多的是線性分形，即具有自相似性的分形。所謂自相似性是指局部是整體成比例縮小的性質(zhì)，定量描述這種自相似性的參數(shù)是分維。但是自然界的分形不像理論分形那么純粹和“干凈”，存在著標(biāo)度區(qū)，研究對(duì)象是否為分形的區(qū)別準(zhǔn)則是無(wú)標(biāo)度性的^［4］。

自法國(guó)數(shù)學(xué)家Mandelbrot提出分形理論以來(lái)，人們對(duì)地質(zhì)現(xiàn)象的分形性質(zhì)的研究與日俱增。土體的粒度分布特征便是一種被廣泛研究的地質(zhì)現(xiàn)象。如果我們把研究的土體看作一個(gè)系統(tǒng)，顯然這是一個(gè)開放的自組織系統(tǒng)，所謂自組織是在沒(méi)有外交特定的干預(yù)下系統(tǒng)所獲得的空間的、時(shí)間的或功能的結(jié)構(gòu)。這樣的系統(tǒng)存在著對(duì)其演化起主導(dǎo)作用的自由度，其大小表征了系統(tǒng)的有序程度。粒度分布實(shí)質(zhì)上描述的是這一系統(tǒng)物質(zhì)組成的空間結(jié)構(gòu)（分形結(jié)構(gòu)），由于分維大小與土體演化環(huán)境、力學(xué)性質(zhì)密切相關(guān)，一次可以把分維作為描述該系統(tǒng)自組織程度的一個(gè)參數(shù)——序參量^［4］。土石混合體屬于土體這個(gè)自組織系統(tǒng)的整個(gè)演化過(guò)程中的一個(gè)高級(jí)演化階段，用分維來(lái)描述其粒度分布對(duì)于土石混合體的結(jié)構(gòu)研究具有重要的意義。

根據(jù)分形理論，設(shè)用孔徑為r的篩子來(lái)篩分試驗(yàn)區(qū)的土石混合體，粒徑≤r的顆粒數(shù)目為N（r），它與粒徑r滿足下列關(guān)系：

N（r）∝ r^-D （1）

式中：D為土石混合體顆粒分布的分維數(shù)。

由于土石混合體的粒度分析過(guò)程中，樣本量大，直接計(jì)算顆粒的數(shù)目相當(dāng)困難，甚至是不可能的。為了實(shí)用上的方便，必須對(duì)（1）式加以改進(jìn)。

對(duì)（1）式求導(dǎo)，可得

dN（r）∝ r^-D-1dr （2）

在成因類型相同且分布在同一研究區(qū)域內(nèi)的地質(zhì)體，顆粒密度可以認(rèn)為是不變的。在這種情況下，顆粒的質(zhì)量與其粒徑的3次方成正比，即滿足如下關(guān)系式：

dM（r）∝ r³dN（r） （3）

式中：M（r）為粒徑≤r的顆粒總質(zhì)量。

將（3）式代入（2）式得

dM（r）∝ r^2-Ddr （4）

對(duì)（4）式進(jìn)行積分得到

M（r）∝ r^3-D （5）

由于粒徑≤r的顆粒的質(zhì)量累計(jì)百分含量P（r）與M（r）成正比關(guān)系，即P（r）∝M（r），代入（5）式得

P（r）∝ r^3-D （6）

因此，根據(jù)土石混合體的顆粒分布累計(jì)曲線，作出P（r）～r在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的曲線圖形，求出無(wú)標(biāo)度區(qū)的直線部分的斜率 n，即可方便地求出土石混合體粒度分布的分維數(shù)：

D＝ 3 - n （7）

3 土石混合體粒度分形的數(shù)據(jù)處理

根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)各試樣的顆粒篩分結(jié)果，求出各個(gè)粒組對(duì)應(yīng)的質(zhì)量百分含量，累積即可得小于粒徑r的顆粒的質(zhì)量累計(jì)百分含量P（r）。根據(jù)所求得的P（r）及相應(yīng)的r我們就可以對(duì)研究區(qū)的土石混合體進(jìn)行分維分析。根據(jù)計(jì)算結(jié)果我們得到了相應(yīng)各試樣的分維值D和回歸相關(guān)系數(shù)R（見表2），及各試樣的顆粒分維分布及顆粒含量累積曲線（圖3）。

圖3 各試樣的顆粒分形分布及顆粒含量累積曲線

從表2的分形分析結(jié)構(gòu)及粒度分形曲線上可以看出，盡管試驗(yàn)區(qū)土石混合體的顆粒粒徑尺寸懸殊達(dá)2～160mm之多。但通過(guò)將各試樣的粒徑尺度劃分為兩個(gè)范圍即：r≤20mm和r＞20mm兩段，然后在各量測(cè)尺度范圍內(nèi)進(jìn)行分維計(jì)算分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在各量測(cè)尺度內(nèi)各個(gè)試樣的lgP（r）和lgr之間存在很好的線性相關(guān)性，回歸系數(shù)R都在0.97 以上，說(shuō)明研究區(qū)的土石混合體粒度分布具有良好的分形結(jié)構(gòu)，在統(tǒng)計(jì)意義上滿足自相似規(guī)律。

4 土石混合體粒度分形特征分析

4.1 研究區(qū)土石混合體的粒度分維曲線特征

從研究區(qū)各試樣的粒度分維分布曲線可以看出，該區(qū)的土石混合體的顆粒分布具有2個(gè)維數(shù)，即為二重分維分布。這與土石混合體的粒徑分布極其不均勻有關(guān)，如本區(qū)的土石混合體C_u達(dá)到50而C_c大于5，屬于級(jí)配不良土。

從分形分布曲線上還可以看出，雖然各個(gè)試樣均具有二重分維特征，但對(duì)每個(gè)研究試樣來(lái)說(shuō)這兩個(gè)分維量測(cè)尺度均被r＝20mm所分割。形成了r≤20mm所對(duì)應(yīng)的包含砂粒、粉粒及粘粒的“細(xì)?！眳^(qū)和r＞20mm所對(duì)應(yīng)的包含碎石及塊石的“粗?！眳^(qū)兩個(gè)分維空間，每個(gè)分維空間分別對(duì)應(yīng)不同的維數(shù)D₁和D₂，且滿足D₁＜D₂。

土石混合體粒度分維呈現(xiàn)的這種二重分維乃至多重分維現(xiàn)象，應(yīng)該從其各粒度分維空間成因來(lái)解釋。研究區(qū)分布的土石混合體主要是坡積或冰積成因的，由于其搬運(yùn)距離短，其物源多為粒度極其不均勻、分選性很差的塊石等組成，這些物質(zhì)構(gòu)成了現(xiàn)在的土石混合體的骨架——“粗?！保欢跀?shù)萬(wàn)年的風(fēng)化及地下水流的沖刷、搬運(yùn)等作用下，部分大顆粒被分解，形成土石混合體的充填成分——“細(xì)?！?。由于成因上的差別，使得這些“細(xì)?！毕鄬?duì)于作為骨架的“粗?！狈诌x性較好，在粒度分維曲線上表現(xiàn)為分段現(xiàn)象（多重分維現(xiàn)象），而相應(yīng)的分維數(shù)則表現(xiàn)為前面所述的D₁＜D₂。

從圖3中可以看出，D₁和D₂差值的絕對(duì)值（在圖中表現(xiàn)為兩回歸擬和直線的夾角）的大小與其對(duì)應(yīng)的顆粒累積曲線有關(guān)，絕對(duì)值越?。磧芍本€的夾角越?。┢鋵?duì)應(yīng)的累積曲線就越平緩，土石混合體的分選性就越差，級(jí)配相對(duì)越好。當(dāng)D₁和D₂趨于相等時(shí)，對(duì)應(yīng)于級(jí)配良好土。

4.2 研究區(qū)土石混合體的粒度分維特征

從試驗(yàn)點(diǎn)布置圖我們可以看出，整個(gè)試驗(yàn)場(chǎng)地大致可以分為3個(gè)試驗(yàn)子區(qū)，即：子區(qū)一，包括1^#，3^#，4^#試驗(yàn)點(diǎn)；子區(qū)二，包括2^#，5^#試驗(yàn)點(diǎn)；子區(qū)三，包括6^#，7^#試驗(yàn)點(diǎn)。分析表2可以看出，在各個(gè)子區(qū)內(nèi)各試驗(yàn)點(diǎn)的分維數(shù)相差不大，而各子區(qū)之間試驗(yàn)點(diǎn)的分維數(shù)相差相對(duì)較大。如“子區(qū)三”的6^#，7^#試驗(yàn)點(diǎn)的D₁分別為2.39和2.34，D₂為2.77和2.71。這與土石混合體在形成過(guò)程中受到的各種條件（如地形、地貌等）因素的影響造成其分布極其不均勻有關(guān)。例如在現(xiàn)場(chǎng)踏勘過(guò)程中可以看到，在子區(qū)二即虎跳峽龍?bào)?^#勘探平硐洞口位置，有兩塊巨礫將其與周圍的子區(qū)一和子區(qū)三分開，造成了其分維數(shù)上的差別。但是從整個(gè)試驗(yàn)場(chǎng)地來(lái)看，其分維數(shù)分布在D₁＝2.34～2.57及D₂＝2.67～2.91區(qū)域。所有這些，從另一個(gè)側(cè)面反映了土石混合體這種特殊的地質(zhì)體在空間上分布的極其不均勻性，但同一成因類型或者同一成因類型中的某一部位（如研究區(qū)位于龍?bào)从野蹲冃误w的下部）的粒度分維數(shù)近似或者相等，這給我們對(duì)土石混合體的區(qū)劃提供了定量指標(biāo)。

4.3 平均粒徑與土石混合體的粒度維數(shù)的關(guān)系

對(duì)于不同的篩分試樣，同一個(gè)P（r）可能對(duì)應(yīng)于不同的r值及不同的分維數(shù)D。現(xiàn)在我們來(lái)分析一下當(dāng)P（r）取某一值時(shí)，對(duì)于不同篩分試樣的r與分維數(shù)D之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

由（6）式可有

P（r）＝ Kr^3-D＋ C （8）

式中：K、C為常數(shù)。

對(duì)（8）式兩邊取對(duì)數(shù)有

土石混合體

據(jù)（9）式我們可以求得其平均粒徑（即P（d₅₀）＝50時(shí)的粒徑d₅₀）與分維數(shù)D滿足下列關(guān)系：

土石混合體

根據(jù)圖3我們可以得到試驗(yàn)區(qū)各個(gè)試樣的d₅₀及其對(duì)應(yīng)的維數(shù)D（表3），然后在半對(duì)數(shù)-分?jǐn)?shù)坐標(biāo)中繪制

曲線（圖4）。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，可得到d₅₀與D之

間的關(guān)系（11）式，相應(yīng)的回歸相關(guān)系數(shù)R＝0.9337，該關(guān)系式很好地描述了土石混合體的平均粒徑與對(duì)應(yīng)維數(shù)之間的定量關(guān)系。

土石混合體

表3 各試樣的平均粒徑及對(duì)應(yīng)分維數(shù)

圖4 平均粒徑與對(duì)應(yīng)維數(shù)之間的關(guān)系曲線

從（11）式可以看出，試樣的分維數(shù)在某種程度上反映了土石混合體平均粒徑的大小，隨著平均粒徑的增大其具有降低的趨勢(shì)，可以作為描述土石混合體粗細(xì)程度的一個(gè)指標(biāo)。

5 結(jié)論

（1）在各種內(nèi)外動(dòng)力作用下破壞形成的碎石塊體，經(jīng)過(guò)搬運(yùn)沉積，再經(jīng)過(guò)數(shù)萬(wàn)年的風(fēng)化、填充作用，形成了今天的各種各樣的土石混合體。雖然這種特殊的地質(zhì)體成因復(fù)雜多樣，但是其粒度分布仍然具有良好的統(tǒng)計(jì)自相似性。分維數(shù)可以用來(lái)作為土石混合體區(qū)劃的定量參數(shù)，為進(jìn)一步研究土石混合體的成因、分布等具有重要的意義。

（2）土石混合體屬于級(jí)配不良土，其粒徑分布極其不均勻，但粒徑分布具有多重分維特性。本研究區(qū)的土石混合體具有二重分維結(jié)構(gòu)（對(duì)應(yīng)兩個(gè)分形維數(shù)D₁和D₂），這與土石混合體中“粗?！焙汀凹?xì)粒”的成因類型有關(guān)。D₁和D₂之差的絕對(duì)值反映了土石混合體顆粒累積曲線的平緩程度及其分選性好壞。

（3）分維數(shù)的大小在某種程度上反映了土石混合體的平均粒徑的大小，通過(guò)將平均粒徑d₅₀與其對(duì)應(yīng)的維數(shù)D進(jìn)行回歸，其研究結(jié)果表明lgd₅₀和

具有很好的線性關(guān)系。

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四、who knows Fractal,Chaos,and Soliton?

1,Fractal（分形）一詞的由來(lái)

誰(shuí)創(chuàng)立了分形幾何學(xué)？

1973年，曼德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。分形（Fractal）一詞，是曼德勃羅創(chuàng)造出來(lái)的，其愿意具有不規(guī)則、支離破碎等意義，分形幾何學(xué)是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學(xué)。分形幾何建立以后，很快就引起了許多學(xué)科的關(guān)注，這是由于它不僅在理論上，而且在實(shí)用上都具有重要價(jià)值。

分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有什么特點(diǎn)：

⑴從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠(yuǎn)距離觀察，其形狀是極不規(guī)則的。

⑵在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當(dāng)然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來(lái)描述一般隨即現(xiàn)象的，還有一些是用來(lái)描述混沌和非線性系統(tǒng)的。

什么是分維？

在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以梢加推廣，認(rèn)為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。分形理論把維數(shù)視為分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時(shí)需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測(cè)度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。

分維的概念我們可以從兩方面建立起來(lái)：一方面，我們首先畫一個(gè)線段、正方形和立方體，它們的邊長(zhǎng)都是1。將它們的邊長(zhǎng)二等分，此時(shí)，原圖的線度縮小為原來(lái)的1/2，而將原圖等分為若干個(gè)相似的圖形。其線段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個(gè)相似的子圖形，其中的指數(shù)1、2、3，正好等于與圖形相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)維數(shù)。一般說(shuō)來(lái)，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個(gè)圖形所組成，有：

a^D=b, D=logb/loga

的關(guān)系成立，則指數(shù)D稱為相似性維數(shù)，D可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。另一方面，當(dāng)我們畫一根直線，如果我們用0維的點(diǎn)來(lái)量它，其結(jié)果為無(wú)窮大，因?yàn)橹本€中包含無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)；如果我們用一塊平面來(lái)量它，其結(jié)果是0，因?yàn)橹本€中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來(lái)量它才會(huì)得到有限值哪？看來(lái)只有用與其同維數(shù)的小線段來(lái)量它才會(huì)得到有限值，而這里直線的維數(shù)為1（大于0、小于2）。與此類似，如果我們畫一個(gè)Koch曲線，其整體是一條無(wú)限長(zhǎng)的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無(wú)窮大，而用平面量，其結(jié)果是0（此曲線中不包含平面），那么只有找一個(gè)與Koch曲線維數(shù)相同的尺子量它才會(huì)得到有限值，而這個(gè)維數(shù)顯然大于1、小于2，那么只能是小數(shù)（即分?jǐn)?shù)）了，所以存在分維。其實(shí)，Koch曲線的維數(shù)是1.2618……。

據(jù)曼德勃羅教授自己說(shuō)，fractal一詞是1975年夏天的一個(gè)寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時(shí)，突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對(duì)應(yīng)的拉丁文動(dòng)詞是frangere（“破碎”、“產(chǎn)生無(wú)規(guī)碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分?jǐn)?shù)”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，曼德勃羅一直使用英文fractional一詞來(lái)表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規(guī)則的、破碎的、分?jǐn)?shù)的。曼德勃羅是想用此詞來(lái)描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無(wú)規(guī)的幾何對(duì)象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無(wú)常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯(cuò)的血管，令人眼花僚亂的滿天繁星等。它們的特點(diǎn)是，極不規(guī)則或極不光滑。直觀而粗略地說(shuō)，這些對(duì)象都是分形。

分形的定義

曼德勃羅曾經(jīng)為分形下過(guò)兩個(gè)定義：

（1）滿足下式條件

Dim(A)>dim(A)

的集合A，稱為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數(shù)（或分維數(shù)），dim(A)為其拓?fù)渚S數(shù)。一般說(shuō)來(lái)，Dim(A)不是整數(shù)，而是分?jǐn)?shù)。

（2）部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。

然而，經(jīng)過(guò)理論和應(yīng)用的檢驗(yàn)，人們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)定義很難包括分形如此豐富的內(nèi)容。實(shí)際上，對(duì)于什么是分形，到目前為止還不能給出一個(gè)確切的定義，正如生物學(xué)中對(duì)“生命”也沒(méi)有嚴(yán)格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來(lái)加以說(shuō)明。對(duì)分形的定義也可同樣的處理。

（i）分形集都具有任意小尺度下的比例細(xì)節(jié)，或者說(shuō)它具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)。

（ii）分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述，它既不是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡，也不是某些簡(jiǎn)單方程的解集。

（iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統(tǒng)計(jì)的自相似。

（iv）一般，分形集的“分形維數(shù)”，嚴(yán)格大于它相應(yīng)的拓?fù)渚S數(shù)。

（v）在大多數(shù)令人感興趣的情形下，分形集由非常簡(jiǎn)單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生。

神話學(xué)單詞：Chaos混沌/chaos混亂

http://www.sina.com.cn 2003/03/06 10:06 新東方教育在線

希臘、羅馬神話對(duì)英國(guó)文學(xué)影響巨大，在文藝復(fù)興時(shí)期尤甚。其中的故事以及詞語(yǔ)滲透于英語(yǔ)的各個(gè)方面。要掌握這些單詞，最好能了解它們的來(lái)源。從本期起，特邀熟諳西方文化的李傳偉老師給我們撰寫相關(guān)文章，幫助大家了解神話，學(xué)習(xí)西方文化并記憶詞匯。

真義chaos(名詞)意為“混亂、無(wú)序”；C大寫時(shí)(即Chaos)意為“混沌”——傳說(shuō)中宇宙形成前模糊一團(tuán)的景象。chaos的形容詞是chaotic，意為“混亂的，雜亂的；混沌的”。常用于下列結(jié)構(gòu)中：in chaos(處于混亂之中); a chaos of(雜亂的); create chaos(制造混亂); throw sth.sintoschaos(使某事陷于混亂之中)。

本原Chaos(混沌)是宇宙形成之初的第一“力量”,是希臘人對(duì)宇宙這一廣袤、黑暗的空間的稱呼。在希臘語(yǔ)中，Chaos為天地之母,意思是“裂開”。希臘《神譜》作者赫西俄德(Hesiod)之所以以Chaos為天地之母，很可能因?yàn)樗J(rèn)為“無(wú)生于無(wú)”(Nothing comes from nothing)；不過(guò)既然“無(wú)”能“生于無(wú)”，就可見Chaos不可能是一物不存的空間,而可能是無(wú)形的雜亂物質(zhì)組成的散亂的空間。

這一混沌觀念讓人想起《圣經(jīng)》中的創(chuàng)世故事。欽定本《圣經(jīng)》的《創(chuàng)世記》(Genesis)中寫道：“地是空虛混沌；淵面黑暗”(“The earth was formless and void, and darkness was over the surface of the deep”)。但這里的大地既不指該亞(Gaia)，也不是由Chaos生成——而是由上帝創(chuàng)造。在希臘神話中，Chaos是偉大的原創(chuàng)力；在《圣經(jīng)》中，Chaos必須由上帝這一創(chuàng)世者來(lái)馴服和塑造。其他一些文明的創(chuàng)世神話，如澳大利亞土著的創(chuàng)世神話中也有類似的混沌觀念。

希臘人并非特別眷戀Chaos，它不過(guò)是至高無(wú)上的神宙斯的杰作，旨在于無(wú)序的原創(chuàng)力和事物之上建立有力秩序。然而，在基督教的傳統(tǒng)中，Chaos的觀念令人恐懼。與Chaos相對(duì)的是cosmos，因?yàn)楹笳咧傅氖潜灰暈楹椭C體系的宇宙。cosmos的形容詞是cosmic。cosmo作為詞根，具有很強(qiáng)的構(gòu)詞能力。如：cosmogony宇宙的起源；天體演化學(xué)；cosmology宇宙論；宇宙哲學(xué)。

巧記Chaos這個(gè)詞除了可以根據(jù)來(lái)源記憶外，也可以用拆分法記憶：Chaos=chao(漢語(yǔ)拼音拼成“吵”)+s(漢語(yǔ)拼音拼成“死”)→“吵死了”→混亂。

收獲A lull in growth could hurt London itself in the long term as well as the short term. London has succeeded despite a poor transport system; if it is to thrive in the future, it needs a better one. But the danger is that, when the pressure is off, everybody forgets about the need for new investment; and then, next time round, the chaos is even worse.(經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)出現(xiàn)呆滯，這無(wú)論是短期還是長(zhǎng)期都會(huì)給倫敦造成損害。倫敦盡管運(yùn)輸系統(tǒng)較差，但經(jīng)濟(jì)上仍然取得了成功。假如倫敦在未來(lái)要繁榮，它的運(yùn)輸系統(tǒng)就必需改善。但這么做存在危險(xiǎn)：壓力消除以后，人們就會(huì)將為改善運(yùn)輸系統(tǒng)進(jìn)行新投資的需要拋諸腦后。這樣一來(lái)，下一次再出現(xiàn)類似情況時(shí)，會(huì)更加混亂。)(Jan.15, 2003, Economist)

什么是光孤子

孤子（Soliton）又稱孤立波，是一種特殊形式的超短脈沖，或者說(shuō)是一種在傳播過(guò)程中形狀、幅度和速度都維持不變的脈沖狀行波。有人把孤子定義為：孤子與其他同類孤立波相遇后，能維持其幅度、形狀和速度不變。

孤子這個(gè)名詞首先是在物理的流體力學(xué)中提出來(lái)的。1834年，美國(guó)科學(xué)家約翰·斯科特·羅素觀察到這樣一個(gè)現(xiàn)象：在一條窄河道中，迅速拉一條船前進(jìn)，在船突然停下時(shí)，在船頭形成的一個(gè)孤立的水波迅速離開船頭，以每小時(shí)14～15km的速度前進(jìn)，而波的形狀不變，前進(jìn)了2～3km才消失。他稱這個(gè)波為孤立波。

其后，1895年，卡維特等人對(duì)此進(jìn)行了進(jìn)一步研究，人們對(duì)孤子有了更清楚的認(rèn)識(shí)，并先后發(fā)現(xiàn)了聲孤子、電孤子和光孤子等現(xiàn)象。從物理學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，孤子是物質(zhì)非線性效應(yīng)的一種特殊產(chǎn)物。從數(shù)學(xué)上看，它是某些非線性偏微分方程的一類穩(wěn)定的、能量有限的不彌散解。即是說(shuō)，它能始終保持其波形和速度不變。孤立波在互相碰撞后，仍能保持各自的形狀和速度不變，好像粒子一樣，故人們又把孤立波稱為孤立子，簡(jiǎn)稱孤子。

由于孤子具有這種特殊性質(zhì)，因而它在等離子物理學(xué)、高能電磁學(xué)、流體力學(xué)和非線性光學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用。

1973年，孤立波的觀點(diǎn)開始引入到光纖傳輸中。在頻移時(shí)，由于折射率的非線性變化與群色散效應(yīng)相平衡，光脈沖會(huì)形成一種基本孤子，在反常色散區(qū)穩(wěn)定傳輸。由此，逐漸產(chǎn)生了新的電磁理論——光孤子理論，從而把通信引向非線性光纖孤子傳輸系統(tǒng)這一新領(lǐng)域。光孤子（soliton）就是這種能在光纖中傳播的長(zhǎng)時(shí)間保持形態(tài)、幅度和速度不變的光脈沖。利用光孤子特性可以實(shí)現(xiàn)超長(zhǎng)距離、超大容量的光通信。

光孤子通信

光纖通信中，限制傳輸距離和傳輸容量的主要原因是“損耗”和“色散”?！皳p耗”使光信號(hào)在傳輸時(shí)能量不斷減弱；而“色散”則是使光脈沖在傳輸中逐漸展寬。所謂光脈沖，其實(shí)是一系列不同頻率的光波振蕩組成的電磁波的集合。光纖的色散使得不同頻率的光波以不同的速度傳播，這樣，同時(shí)出發(fā)的光脈沖，由于頻率不同，傳輸速度就不同，到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間也就不同，這便形成脈沖展寬，使得信號(hào)畸變失真?，F(xiàn)在隨著光纖制造技術(shù)的發(fā)展，光纖的損耗已經(jīng)降低到接近理論極限值的程度，色散問(wèn)題就成為實(shí)現(xiàn)超長(zhǎng)距離和超大容量光纖通信的主要問(wèn)題。

光纖的色散是使光信號(hào)的脈沖展寬，而光纖中還有一種非線性的特性，這種特性會(huì)使光信號(hào)的脈沖產(chǎn)生壓縮效應(yīng)。光纖的非線性特性在光的強(qiáng)度變化時(shí)使頻率發(fā)生變化，從而使傳播速度變化。在光纖中這種變化使光脈沖后沿的頻率變高、傳播速度變快；而前沿的頻率變低、傳播速度變慢。這就造成脈沖后沿比前沿運(yùn)動(dòng)快，從而使脈沖受到壓縮變窄。

如果有辦法使光脈沖變寬和變窄這兩種效應(yīng)正好互相抵消，光脈沖就會(huì)像一個(gè)一個(gè)孤立的粒子那樣形成光孤子，能在光纖傳輸中保持不變，實(shí)現(xiàn)超長(zhǎng)距離、超大容量的通信。

光孤子通信是一種全光非線性通信方案，其基本原理是光纖折射率的非線性（自相位調(diào)制）效應(yīng)導(dǎo)致對(duì)光脈沖的壓縮可以與群速色散引起的光脈沖展寬相平衡，在一定條件（光纖的反常色散區(qū)及脈沖光功率密度足夠大）下，光孤子能夠長(zhǎng)距離不變形地在光纖中傳輸。它完全擺脫了光纖色散對(duì)傳輸速率和通信容量的限制，其傳輸容量比當(dāng)今最好的通信系統(tǒng)高出1~2個(gè)數(shù)量級(jí)，中繼距離可達(dá)幾百km。它被認(rèn)為是下一代最有發(fā)展前途的傳輸方式之一。

從光孤子傳輸理論分析，光孤子是理想的光脈沖，因?yàn)樗苷?，其脈沖寬度在皮秒級(jí)（ps，即s）。這樣，就可使鄰近光脈沖間隔很小而不至于發(fā)生脈沖重疊，產(chǎn)生干擾。利用光孤子進(jìn)行通信，其傳輸容量極大，可以說(shuō)是幾乎沒(méi)有限制。傳輸速率將可能高達(dá)每秒兆比特。如此高速將意味著世界上最大的圖書館――美國(guó)國(guó)會(huì)圖書館的全部藏書，只需要100秒就可以全部傳送完畢。由此可見，光孤子通信的能力何等巨大。

主要技術(shù)內(nèi)容

近年來(lái)，光孤子通信取得了突破性進(jìn)展。光纖放大器的應(yīng)用對(duì)孤子放大和傳輸非常有利，它使孤子通信的夢(mèng)想推進(jìn)到實(shí)際開發(fā)階段。光孤子在光纖中的傳輸過(guò)程需要解決如下問(wèn)題：光纖損耗對(duì)光孤子傳輸?shù)挠绊?，光孤子之間的相互作用，高階色散效應(yīng)對(duì)光孤子傳輸?shù)挠绊懸约皢文９饫w中的雙折射現(xiàn)象等。由此需要涉及到的技術(shù)主要有：

適合光孤子傳輸?shù)墓饫w技術(shù)。研究光孤子通信系統(tǒng)的一項(xiàng)重要任務(wù)就是評(píng)價(jià)光孤子沿光纖傳輸?shù)难莼闆r。研究特定光纖參數(shù)條件下光孤子傳輸?shù)挠行Ь嚯x，由此確定能量補(bǔ)充的中繼距離，這樣的研究不但為光孤子通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供數(shù)據(jù)，而且通常導(dǎo)致新型光纖的產(chǎn)生。

光孤子源技術(shù)。光孤子源是實(shí)現(xiàn)超高速光孤子通信的關(guān)鍵。根據(jù)理論分析，只有當(dāng)輸出的光脈沖為嚴(yán)格的雙曲正割形，且振幅滿足一定條件時(shí)，光孤子才能在光纖中穩(wěn)定地傳輸，目前，研究和開發(fā)的光孤子源種類繁多，有拉曼孤子激光器、參量孤子激光器、摻餌光纖孤子激光器、增益開關(guān)半導(dǎo)體孤子激光器和鎖模半導(dǎo)體孤子激光器等?，F(xiàn)在的光孤子通信試驗(yàn)系統(tǒng)大多采用體積小、重復(fù)頻率高的增益開關(guān)DFB半導(dǎo)體激光器或鎖模半導(dǎo)體激光器作光孤子源。它們的輸出光脈沖是高斯形的，且功率較小，但經(jīng)光纖放大器放大后，可獲得足以形成光孤子傳輸?shù)姆逯倒β省＠碚摵万?yàn)均已證明光孤子傳輸對(duì)波形要求并不嚴(yán)格。高斯光脈沖在色散光纖中傳輸時(shí)，由于非線性自相位調(diào)制與色散效應(yīng)共同作用，光脈沖中心部分可逐漸演化為雙曲正割形。

光孤子放大技術(shù)。全光孤子放大器對(duì)光信號(hào)可以直接放大，避免了目前光通信系統(tǒng)中光/電、電/光的轉(zhuǎn)換模式。它既可作為光端機(jī)的前置放大器，又可作為全光中繼器，是光孤子通信系統(tǒng)極為重要的器件。實(shí)際上，光孤子在光纖的傳播過(guò)程中，不可避免地存在著損耗。不過(guò)光纖的損耗只降低孤子的脈沖幅度，并不改變孤子的形狀，因此，補(bǔ)償這些損耗成為光孤子傳輸?shù)年P(guān)鍵技術(shù)之一。目前有兩種補(bǔ)償孤子能量的方法，一種是采用分布式的光放大器的方法，即使用受激拉曼散解放大器或分布的摻鉺光纖放大器；另一種是集總的光放大器法，即采用摻鉺光纖放大器或半導(dǎo)體激光放大器。利用受激拉曼散射效應(yīng)的光放大器是一種典型的分布式光放大器。其優(yōu)點(diǎn)是光纖自身成為放大介質(zhì)，然而石英光纖中的受激拉曼散射增益系數(shù)相當(dāng)小，這意味著需要高功率的激光器作為光纖中產(chǎn)生受激拉曼散射的泵浦源，此外，這種放大器還存在著一定的噪聲。集總放大方法是通過(guò)摻鉺光纖放大器實(shí)現(xiàn)的，其穩(wěn)定性已得到理論和試驗(yàn)的證明，成為當(dāng)前孤子通信的主要放大方法。光放大被認(rèn)為是全光孤子通信的核心問(wèn)題。

光孤子開關(guān)技術(shù)。在設(shè)計(jì)全光開關(guān)時(shí)，采用光孤子脈沖作輸入信號(hào)可使整個(gè)設(shè)計(jì)達(dá)到優(yōu)化，光孤子開關(guān)的最大特點(diǎn)是開關(guān)速度快（達(dá)10-2s量級(jí)），開關(guān)轉(zhuǎn)換率高（達(dá)100%），開關(guān)過(guò)程中光孤子的形狀不發(fā)生改變，選擇性能好。

發(fā)展前景

全光式光孤子通信，是新一代超長(zhǎng)距離、超高碼速的光纖通信系統(tǒng)，更被公認(rèn)為是光纖通信中最有發(fā)展前途、最具開拓性的前沿課題。光孤子通信和線性光纖通信比較有一系列顯著的優(yōu)點(diǎn)：一、傳輸容量比最好的線性通信系統(tǒng)大1個(gè)~2個(gè)數(shù)量級(jí)；二、可以進(jìn)行全光中繼。由于孤子脈沖的特殊性質(zhì)使中繼過(guò)程簡(jiǎn)化為一個(gè)絕熱放大過(guò)程，大大簡(jiǎn)化了中繼設(shè)備，高效、簡(jiǎn)便、經(jīng)濟(jì)。光孤子通信和線性光纖通信比，無(wú)論在技術(shù)上還是在經(jīng)濟(jì)都具有明顯的優(yōu)勢(shì)，光孤子通信在高保真度、長(zhǎng)距離傳輸方面，優(yōu)于光強(qiáng)度調(diào)制/直接檢測(cè)方式和相干光通信。

正因?yàn)楣夤伦油ㄐ偶夹g(shù)的這些優(yōu)點(diǎn)和潛在發(fā)展前景，國(guó)際國(guó)內(nèi)這幾年都在大力研究開發(fā)這一技術(shù)。迄今為止的研究已為實(shí)現(xiàn)超高速、超長(zhǎng)距離無(wú)中繼光孤子通信系統(tǒng)奠定了理論的、技術(shù)的和物質(zhì)的基礎(chǔ)：

一.孤子脈沖的不變性決定了無(wú)需中繼；

二.光纖放大器，特別是用激光二極管泵浦的摻鉺光纖放大器補(bǔ)償了損耗；

三.光孤子碰撞分離后的穩(wěn)定性為設(shè)計(jì)波分復(fù)用提供了方便；

四.采用預(yù)加重技術(shù)，且用色散位移光纖傳輸，摻鉺光纖集總信號(hào)放大，這樣便在低增益的情況下減弱了ASE的影響，擴(kuò)大了中繼距離；

五.導(dǎo)頻濾波器有效地減小了超長(zhǎng)距離內(nèi)噪聲引起的孤子時(shí)間抖動(dòng)；

六.本征值通信的新概念使孤子通信從只利用基本孤子拓寬到利用高階孤子，從而可增加每個(gè)脈沖所載的信息量。

光孤子通信的這一系列進(jìn)展使目前的孤子通信系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)已達(dá)到傳輸速率10~20Gbit/s，傳輸距離13000~20000公里的水平。

光孤子技術(shù)未來(lái)的前景是：在傳輸速度方面采用超長(zhǎng)距離的高速通信，時(shí)域和頻域的超短脈沖控制技術(shù)以及超短脈沖的產(chǎn)生和應(yīng)用技術(shù)使現(xiàn)行速率10~20Gbit/s提高到100Gbit/s以上；在增大傳輸距離方面采用重定時(shí)，整形，再生技術(shù)和減少ASE，光學(xué)濾波使傳輸距離提高到100000公里以上；在高性能EDFA方面是獲得低噪聲高輸出EDFA。當(dāng)然實(shí)際的光孤子通信仍然存在許多技術(shù)的難題，但目前已取得的突破性進(jìn)展使我們相信，光孤子通信在超長(zhǎng)距離、高速、大容量的全光通信中，尤其在海底光通信系統(tǒng)中，有著光明的發(fā)展前景。

以上就是關(guān)于分形幾何與景觀設(shè)計(jì)相關(guān)問(wèn)題的回答。希望能幫到你，如有更多相關(guān)問(wèn)題，您也可以聯(lián)系我們的客服進(jìn)行咨詢，客服也會(huì)為您講解更多精彩的知識(shí)和內(nèi)容。

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