自然指數(shù)e表達式（自然指數(shù)e表達式怎么算）

大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關(guān)于自然指數(shù)e表達式的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

• 1、什么是e指數(shù)

• 2、請問自然對數(shù)中的“e”的數(shù)值是怎樣推導(dǎo)出來的？

• 3、

• 4、

一、什么是e指數(shù)

e約等于2.71828……,是一個無理數(shù),它是(1+1/n)的n次方的極限(n趨向于無窮大).

e在高等數(shù)學(xué)中非常重要,指數(shù)函數(shù)y=e^x是一個比較特殊的指數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)就等于它本身,由此延伸出去,數(shù)學(xué)科學(xué)的眾多理論中,e都尤其很特殊和很重要的地位.

很難一下子講清楚啦:)有機會學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué),甚至進入打?qū)W數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)的話,您就會了解到它的重要性.

二、請問自然對數(shù)中的“e”的數(shù)值是怎樣推導(dǎo)出來的？

這個問題屬于初等函數(shù)范疇，需要具備函數(shù)極限、微積分 方面的知識基礎(chǔ)。瀏覽了樓主的回答列表，我認(rèn)為樓主的知識基礎(chǔ)已經(jīng)具備。

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設(shè)函數(shù) f(x) = (1 + 1/x)^x

首先證明當(dāng) x 趨向正無窮大時，該函數(shù)有極限。其次求該極限。

取x為整數(shù)n的情況，利用二項式定理

f(n) = (1+1/n)^n

=（k從0到n的求和）∑n(n-1)(n-2)……(n-k+1)/(k!*n^k)

=(k從0到n的求和)∑(1/k!)*(1-1/n)(1-2/n)……[1-(k-1)/n]

同理寫出f(n+1)的展開式，容易看出 f(n+1) > f(n)

因此 f(n)是單調(diào)遞增函數(shù)

同時從f(n)的展開表達式還可以得到

f(n) ≤ 1 + 1 + 1/2！ + 1/3！ + …… + 1/n!

再利用 n! > 2^(n-1) ，。。。（此定理的證明從略）

f(n) < 2 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + …… + 1/2^(n-1)

= 3 - 1/2^(n-1) < 3

綜上所述，f(n)隨n單調(diào)遞增，同時有界。因此 f(n)有極限。

之后利用初等函數(shù)中的夾擠定理，又可以進一步證明 f(x) 與f(n)類似。于是定義 x趨于正無窮大時，f(x)極限值為 e。

通過對 x取一個很大的數(shù)，可以計算出 e。x取得越大，e值越精確。

e≈2.7182818284……

e 值是這樣定義出的。進一步研究又表明e值有一些有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì)。

例如對于以a為底的對數(shù)函數(shù) f(x)=loga(x)求微分，

其結(jié)果為 f'(x)= [loga(e)]/x

這個結(jié)果的簡單證明過程：

f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)]/Δx 。其中 Δx 趨向0。

代入 f(x)及 f(x+Δx)表達式后，

f'(x)= （1/x) * lim loga(1+Δx/x)^(Δx/x)

f'(x) = (1/x) * lim loga(1 +1/z)^z ，其中z趨向正無窮大

所以

f'(x)=(1/x)* loga(e)

然后在利用這個結(jié)果以及反函數(shù)的微分，可以證明 指數(shù)函數(shù)的微分 為

f(x) = a^x

f'(x) = loge(a) * a^x

因此定義 loge(a) = ln a

自此出現(xiàn)了自然對數(shù)。

另外從 (a^x)' = lna * a^x 可以推出 e^x 的導(dǎo)數(shù)恰好是其自身。

三、

四、

以上就是關(guān)于自然指數(shù)e表達式相關(guān)問題的回答。希望能幫到你，如有更多相關(guān)問題，您也可以聯(lián)系我們的客服進行咨詢，客服也會為您講解更多精彩的知識和內(nèi)容。

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